Cuerpo que se desliza sobre superficie esférica

Dinámica y energía

¿En qué punto pierde el contacto con el montículo?

Resolvemos paso a paso un problema clásico que combina conservación de la energía, movimiento circular, fuerza normal y fuerza centrípeta.

Enunciado del problema

Una persona de masa \(m\) se encuentra inicialmente en reposo en la parte superior de un montículo de nieve completamente liso, con forma de semiesfera de radio \(R\). La persona comienza a deslizarse. ¿En qué punto deja de estar en contacto con la superficie?

Idea fundamental: necesitamos obtener la velocidad de la persona de dos maneras diferentes: mediante la conservación de la energía y mediante la ecuación radial del movimiento circular. Después igualaremos ambas expresiones.

Resolución paso a paso

1

Elegimos la altura y el ángulo

Sea \(H\) la altura de la persona sobre el centro de la semiesfera. En el dibujo, el ángulo \(\theta\) está medido desde la horizontal.

\[ H=R\sin\theta \]

En la parte superior del montículo, \(\theta=90^\circ\) y \(H=R\).

2

Aplicamos la conservación de la energía

La superficie es completamente lisa, por lo que no existen pérdidas de energía mecánica. Además, la fuerza normal no realiza trabajo, porque siempre es perpendicular al desplazamiento.

En la parte superior la persona parte del reposo:

\[ E_i=mgR \]

Cuando se encuentra a una altura \(H\):

\[ E_f=mgH+\frac12mv^2 \]

Igualamos ambas energías:

\[ mgR=mgH+\frac12mv^2 \]

Simplificamos la masa y despejamos \(v^2\):

\[ \boxed{v^2=2g(R-H)} \]

Como \(H=R\sin\theta\):

\[ \boxed{v^2=2gR(1-\sin\theta)} \]

3

Analizamos las fuerzas en la dirección radial

Mientras permanece en contacto con la superficie, la persona describe un arco de circunferencia de radio \(R\).

En la dirección radial actúan:

• La componente del peso dirigida hacia el centro: \(mg\sin\theta\).
• La fuerza normal \(N\), dirigida hacia fuera.

La resultante radial es la fuerza centrípeta:

\[ mg\sin\theta-N=\frac{mv^2}{R} \]

Importante: la fuerza centrípeta no es una fuerza adicional. Es el nombre que recibe la resultante de las fuerzas reales en la dirección radial.

4

Condición de pérdida de contacto

La persona pierde el contacto cuando la superficie deja de ejercer fuerza sobre ella.

\[ N=0 \]

En ese instante:

\[ mg\sin\theta=\frac{mv^2}{R} \]

Simplificamos la masa y despejamos:

\[ \boxed{v^2=gR\sin\theta} \]

5

Igualamos las dos expresiones de la velocidad

En el punto de separación deben cumplirse simultáneamente la ecuación de la energía y la ecuación radial.

\[ 2gR(1-\sin\theta)=gR\sin\theta \]

\[ 2(1-\sin\theta)=\sin\theta \]

\[ 2-2\sin\theta=\sin\theta \]

\[ 2=3\sin\theta \]

\[ \boxed{\sin\theta=\frac23} \]

6

Calculamos el punto de separación

La altura del punto respecto del centro es:

\[ H=R\sin\theta \]

Sustituimos \(\sin\theta=2/3\):

\[ \boxed{H=\frac{2R}{3}} \]

Desde la parte superior ha descendido:

\[ R-\frac{2R}{3}=\frac{R}{3} \]

La persona pierde el contacto cuando se encuentra a la altura \[ \boxed{H=\frac{2R}{3}} \] Es decir, después de descender una altura \(R/3\) desde la cima.

Ángulo correspondiente

Como el ángulo está medido desde la horizontal:

\[ \theta=\arcsin\left(\frac23\right) \]

\[ \boxed{\theta\approx41{,}8^\circ} \]

Si se midiese desde la vertical:

\[ 90^\circ-41{,}8^\circ=48{,}2^\circ \]

Interpretación física

En la parte superior

Como \(v=0\), la aceleración centrípeta es nula y la normal tiene el mismo módulo que el peso:

\[ N=mg \]

Durante el descenso

La rapidez aumenta y la fuerza normal disminuye:

\[ N=mg\sin\theta-\frac{mv^2}{R} \]

Cuando \(N\) llega a cero, la superficie ya no puede mantener a la persona siguiendo el arco. Desde ese instante comienza un movimiento de proyectil.

Errores frecuentes

• Tomar la fuerza centrípeta como una fuerza adicional.
• Olvidar que la normal apunta hacia fuera de la semiesfera.
• Usar \(mg\cos\theta\) cuando el ángulo está medido desde la horizontal.
• No imponer la condición \(N=0\) en el punto de separación.
• Confundir la altura \(H\) con la distancia recorrida sobre el arco.

Resumen de fórmulas

Conservación de la energía

\[ v^2=2gR(1-\sin\theta) \]

Pérdida de contacto

\[ v^2=gR\sin\theta \]

\[ \boxed{\sin\theta=\frac23} \qquad \boxed{H=\frac{2R}{3}} \]

Preguntas frecuentes

¿Por qué se conserva la energía mecánica?

Porque la superficie es lisa y no existe rozamiento. El peso es una fuerza conservativa y la normal no realiza trabajo porque es perpendicular al desplazamiento.

¿Por qué la normal se hace cero?

La superficie puede empujar a la persona, pero no puede tirar de ella. Cuando la normal necesaria sería negativa, se pierde el contacto.

¿La fuerza centrípeta es una fuerza nueva?

No. Es la resultante de las fuerzas reales en la dirección radial. En este problema vale \(mg\sin\theta-N\).

¿Influye la masa de la persona?

No. La masa se simplifica tanto en la ecuación de la energía como en la ecuación radial.

¿Qué sucede después de perder el contacto?

La persona deja de seguir el arco de circunferencia y comienza un movimiento de proyectil sometido a la gravedad.

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