Problema de Tiro Parabólico: Cálculo del Ángulo Óptimo
¿Cómo determinar los ángulos de lanzamiento para alcanzar una distancia específica? Resolvamos un problema clásico de física paso a paso.
Enunciado
Un cañón lanza un proyectil con velocidad inicial \( v_0 = 25 \, \text{m/s} \). Si queremos que impacte a 40 metros de distancia (ignorando la resistencia del aire), ¿qué ángulos de disparo son posibles? Usa \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \).
Fórmula Clave del Alcance
\[ R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \]Donde \( R \) es el alcance horizontal y \( \theta \) el ángulo de lanzamiento.
Paso 1: Despejar \( \sin(2\theta) \)
\[ \sin(2\theta) = \frac{Rg}{v_0^2} = \frac{40 \times 9.8}{25^2} = \frac{392}{625} \approx 0.6272 \]Paso 2: Calcular \( 2\theta \)
Aplicamos la función arcoseno:
\[ 2\theta = \arcsin(0.6272) \implies 2\theta \approx 38.8^\circ \quad \text{o} \quad 2\theta \approx 141.2^\circ \]Paso 3: Determinar los Ángulos
Dividimos entre 2 para obtener \( \theta \):
\[ \theta_1 \approx \frac{38.8^\circ}{2} = 19.4^\circ \quad ; \quad \theta_2 \approx \frac{141.2^\circ}{2} = 70.6^\circ \]Paso 4: Verificación de Viabilidad
Comprobamos que \( \sin(2\theta) \leq 1 \):
\[ \frac{Rg}{v_0^2} = 0.6272 \leq 1 \quad \implies \quad \text{¡Es posible alcanzar los 40 m!} \]Resultados Finales
Los ángulos de lanzamiento son:
\[ \boxed{\theta_1 \approx 19.4^\circ \quad \text{y} \quad \theta_2 \approx 70.6^\circ} \]Ambos son complementarios (\( \theta_1 + \theta_2 = 90^\circ \)), característica clave del tiro parabólico.
¿Por qué dos soluciones?
La función seno es positiva en el primer y segundo cuadrante. Por ello, existen dos ángulos que satisfacen \( \sin(2\theta) = 0.6272 \): uno por debajo de 45° y otro por encima, ¡ambos con el mismo alcance!
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