Ecuación de Tsiolkovsky

Derivación de la ecuación de Tsiolkovsky

La ecuación de Tsiolkovsky es fundamental en la mecánica de cohetes, ya que describe el cambio en la velocidad (\( \Delta v \)) de un cohete en función de la velocidad de eyección del combustible y la razón de masa del cohete.

1. Planteamiento del problema

Considera un cohete de masa \( m(t) \) que, en un instante \( t \), se mueve con velocidad \( v(t) \). Durante un intervalo infinitesimal de tiempo \( dt \), el cohete expulsa una cantidad infinitesimal de masa \( dm \) (notando que \( dm < 0 \) ya que el cohete pierde masa) a una velocidad relativa \( v_e \) respecto al cohete.

2. Conservación del momento

Antes de la expulsión, el momento del sistema es:

\( p_{\text{inicial}} = m\,v \)

Después de expulsar la masa \( dm \), el sistema se compone de:

• El cohete, con masa \( m + dm \) (donde \( dm \) es negativo) y velocidad \( v + dv \).
• La masa expulsada \( |dm| \) que se mueve a velocidad \( v - v_e \) en el marco de referencia inercial.

Por lo tanto, el momento final del sistema es:

\( p_{\text{final}} = (m + dm)(v + dv) + (-dm)(v - v_e) \)

3. Expansión y linealización

Se expande el primer término (despreciando productos de dos diferenciales):

\( (m + dm)(v + dv) \approx m\,v + m\,dv + v\,dm \)

Sustituyendo en \( p_{\text{final}} \):

\( p_{\text{final}} \approx m\,v + m\,dv + v\,dm - dm\,(v - v_e) \)

Distribuyendo el último término:

\( p_{\text{final}} \approx m\,v + m\,dv + v\,dm - v\,dm + v_e\,dm \)

Al cancelar \( v\,dm - v\,dm \), se obtiene:

\( p_{\text{final}} \approx m\,v + m\,dv + v_e\,dm \)

4. Aplicando la conservación del momento

La conservación del momento implica que:

\( p_{\text{final}} = p_{\text{inicial}} \)

Por lo tanto:

\( m\,v + m\,dv + v_e\,dm = m\,v \)

Simplificando se tiene:

\( m\,dv + v_e\,dm = 0 \)

5. Reordenar la ecuación diferencial

Despejando \( dv \):

\( dv = -\frac{v_e}{m}\, dm \)

Recordemos que \( dm \) es negativo (el cohete pierde masa), lo que relaciona un cambio infinitesimal en la velocidad \( dv \) con la masa expulsada \( dm \).

6. Integración de la ecuación diferencial

Se integra la ecuación considerando que el cohete pasa de una masa inicial \( m_0 \) a una masa final \( m_f \), y la velocidad cambia de \( v_0 \) a \( v_f \):

\( \int_{v_0}^{v_f} dv = -v_e \int_{m_0}^{m_f} \frac{dm}{m} \)

La integral del lado izquierdo es:

\( \int_{v_0}^{v_f} dv = v_f - v_0 \)

La integral del lado derecho es:

\( \int_{m_0}^{m_f} \frac{dm}{m} = \ln(m_f) - \ln(m_0) = \ln\left(\frac{m_f}{m_0}\right) \)

Por lo tanto:

\( v_f - v_0 = -v_e \ln\left(\frac{m_f}{m_0}\right) \)

O bien, expresando el cambio de velocidad \( \Delta v \):

\( \Delta v = v_f - v_0 = v_e \ln\left(\frac{m_0}{m_f}\right) \)

7. Interpretación de la ecuación

• \( \Delta v \) representa el cambio total en la velocidad del cohete.
• \( v_e \) es la velocidad de eyección del combustible respecto al cohete.
• \( \frac{m_0}{m_f} \) es la razón de masa, que relaciona la masa inicial (incluyendo combustible) y la masa final (después de quemar combustible).

La ecuación muestra que el incremento de velocidad depende logarítmicamente de la razón de masas, lo que implica que aumentar significativamente \( \Delta v \) requiere incrementos exponenciales en la masa de combustible.

Conclusión

La ecuación de Tsiolkovsky se expresa como:

\( \Delta v = v_e \ln\left(\frac{m_0}{m_f}\right) \)

Esta relación, obtenida a partir de la conservación del momento y la integración de la ecuación diferencial, es esencial para comprender el rendimiento de los vehículos espaciales y la importancia de la razón de masa en la ingeniería de cohetes.

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