Queremos demostrar, paso a paso, la identidad:
$$ \vec v \cdot d\vec v \;=\; \frac12\, d(v^2) $$
Aquí \( \vec v \) es un vector (por ejemplo, la velocidad) y \( v = |\vec v| \) es su módulo (su “tamaño”).
1️⃣ Escribimos el vector por componentes
En tres dimensiones (en dos dimensiones sería igual pero sin el término \(z\)):
$$ \vec v = (v_x,\; v_y,\; v_z) $$ $$ d\vec v = (dv_x,\; dv_y,\; dv_z) $$
Ahora calculamos el producto escalar del miembro izquierdo:
$$ \vec v \cdot d\vec v = v_x\,dv_x + v_y\,dv_y + v_z\,dv_z $$
2️⃣ Convertimos cada término en un diferencial
Usamos una regla básica de diferenciales:
$$ d(u^2)=2u\,du \quad \Longrightarrow \quad u\,du=\frac12\,d(u^2) $$
Aplicamos esto a cada componente:
$$ v_x\,dv_x=\frac12\,d(v_x^2), \qquad v_y\,dv_y=\frac12\,d(v_y^2), \qquad v_z\,dv_z=\frac12\,d(v_z^2) $$
Sustituimos en la suma:
$$ \vec v \cdot d\vec v = \frac12\,d(v_x^2)+\frac12\,d(v_y^2)+\frac12\,d(v_z^2) $$
Factorizamos \( \tfrac12 \):
$$ \vec v \cdot d\vec v = \frac12\Big(d(v_x^2)+d(v_y^2)+d(v_z^2)\Big) $$
3️⃣ Unimos los diferenciales (linealidad de \(d\))
El operador diferencial \(d\) es lineal, es decir:
$$ d(A)+d(B)=d(A+B) $$
Así que:
$$ d(v_x^2)+d(v_y^2)+d(v_z^2)=d(v_x^2+v_y^2+v_z^2) $$
Sustituyendo:
$$ \vec v \cdot d\vec v = \frac12\, d\big(v_x^2+v_y^2+v_z^2\big) $$
4️⃣ Reconocemos \(v^2\)
Por definición del módulo:
$$ v^2 = |\vec v|^2 = v_x^2+v_y^2+v_z^2 $$
Por tanto:
$$ \boxed{\;\vec v \cdot d\vec v \;=\; \frac12\, d(v^2)\;} $$
🎯 Comentario intuitivo (para entenderlo de verdad)
El término \( \vec v\cdot d\vec v \) mide “cuánto cambia la velocidad en la misma dirección en la que ya apunta la velocidad”. Ese cambio es justo lo que modifica el módulo \(v\). Por eso aparece \(v^2\).
Esta identidad es el paso matemático que permite transformar el trabajo en variación de energía cinética en el Teorema Trabajo–Energía.
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