Parámetros de un MAS (Amplitud, Fase, Aceleración y Fuerzas)

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Ejercicio Resuelto: Parámetros de un MAS (Amplitud, Fase, Aceleración y Fuerzas)

Una partícula de 2 g de masa realiza un movimiento armónico simple (MAS) con periodo 1 s. En \(t = 0\), la elongación es \(\displaystyle 0.5 \,\text{cm}\) y su velocidad es \(\displaystyle 5 \,\text{cm/s}\). Se pide determinar:

  1. La amplitud y la fase inicial.
  2. La aceleración máxima de la partícula.
  3. La constante elástica del sistema (constante de Hooke, \(k\)).
  4. La fuerza recuperadora en un instante genérico.
  5. La fuerza recuperadora máxima.
  6. La posición de la partícula cuando su velocidad sea \(3 \,\text{cm/s}\).

Solución Detallada

Paso 1: Datos y fórmulas del MAS

  • Masa de la partícula: \(\displaystyle m = 2 \,\text{g} = 0.002\,\text{kg}\).
  • Periodo: \(\displaystyle T = 1 \,\text{s}\).
  • Frecuencia angular: \(\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi \,\text{rad/s}.\)
  • Posición inicial (\(t=0\)): \(\displaystyle x(0)=0.5 \,\text{cm}=0.005 \,\text{m}\).
  • Velocidad inicial (\(t=0\)): \(\displaystyle v(0)=5 \,\text{cm/s}=0.05 \,\text{m/s}\).

Para un MAS, la posición se describe (en metros) como:

\[ x(t) = A \,\cos(\omega t + \varphi), \]

y la velocidad, como:

\[ v(t) = -\,\omega \, A \,\sin(\omega t + \varphi). \]

Paso 2: Determinar Amplitud \(A\) y Fase Inicial \(\varphi\)

Impongamos las condiciones iniciales:

  • \( x(0) = A \cos(\varphi) = 0.005 \)
  • \( v(0) = - \omega A \sin(\varphi) = 0.05 \) (se tomó el signo positivo: esto implica que en \(t=0\), la velocidad es positiva; si resulta \(v(0)>0\), forzosamente \(-\omega A \sin(\varphi) = 0.05\). Entonces \(\sin(\varphi) < 0\)).

Primero, de \(\displaystyle x(0) = A\cos(\varphi) = 0.005\), obtenemos:

\[ \cos(\varphi) = \frac{0.005}{A}. \]

Luego, \(\displaystyle v(0)=0.05=-\omega A \sin(\varphi) \). Sabiendo \(\omega = 2\pi\),

\[ - (2\pi) \, A \,\sin(\varphi) = 0.05 \quad\Longrightarrow\quad \sin(\varphi) = -\,\frac{0.05}{2\pi A}. \]

Debemos encontrar \(A\) y \(\varphi\) que cumplan simultáneamente estas expresiones para \(\sin(\varphi)\) y \(\cos(\varphi)\).

Usamos la identidad \(\sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi)=1\):

\[ \Bigl(\frac{0.005}{A}\Bigr)^2 + \Bigl(-\,\frac{0.05}{2\pi A}\Bigr)^2 = 1. \]

Simplificando:

\[ \frac{(0.005)^2}{A^2} + \frac{(0.05)^2}{(2\pi)^2 \,A^2} = 1. \]

Factorizamos \( \tfrac{1}{A^2}\):

\[ \frac{1}{A^2}\Bigl[(0.005)^2 + \frac{(0.05)^2}{(2\pi)^2}\Bigr] = 1. \]

Calculemos primero la magnitud entre corchetes:

  • \((0.005)^2 = 2.5\times10^{-5}\)
  • \((0.05)^2=0.0025\), y \((2\pi)^2 \approx (6.2832)^2 \approx 39.478\). Entonces \(\displaystyle \frac{0.0025}{39.478}\approx 6.33\times10^{-5}\).

\[ (0.005)^2 + \frac{(0.05)^2}{(2\pi)^2} \approx 2.5\times10^{-5} + 6.33\times10^{-5} = 8.83\times10^{-5}. \]

Con esto:

\[ \frac{8.83\times10^{-5}}{A^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad A^2 = 8.83\times10^{-5} \quad\Longrightarrow\quad A = \sqrt{8.83\times10^{-5}}. \]

Numéricamente: \(\sqrt{8.83\times10^{-5}}\approx 0.0094\) m \(=\ 0.94\) cm.

\[ A \approx 0.0094 \,\text{m} \; (0.94\,\text{cm}). \]

Luego, para hallar \(\varphi\):

  • \(\cos(\varphi)=\tfrac{0.005}{0.0094}\approx 0.53.\)
  • \(\sin(\varphi)= -\,\tfrac{0.05}{2\pi\times0.0094} \approx -\,0.85.\)

Observamos que \(\cos(\varphi)\approx0.53>0\) y \(\sin(\varphi)\approx-0.85<0\), por tanto \(\varphi\) se ubica en el 4° cuadrante (entre \(-\pi/2\) y \(0\)).

\[ \varphi \approx -\,\arcsin(0.85) \;\;\text{o}\;\; \varphi \approx -\,\arccos(0.53). \]

Numéricamente, \(\arccos(0.53)\approx1.02\,\text{rad}\), \(\arcsin(0.85)\approx1.02\,\text{rad}\). El ángulo en el 4° cuadrante es \(\varphi\approx -1.02\,\text{rad}\).

Paso 3: Aceleración máxima

En un MAS, la aceleración máxima ocurre en los extremos (\(|x|=A\)), con valor:

\[ a_{\max} = \omega^2 \, A = (2\pi)^2 \times 0.0094 \approx 39.478 \times 0.0094 \approx 0.37 \,\text{m/s}^2. \]

(Aproximadamente 0.37 m/s2).

Paso 4: Constante elástica \(k\)

Para un oscilador masa-resorte ideal, en un MAS se cumple \(\displaystyle \omega = \sqrt{\tfrac{k}{m}}\). Entonces,

\[ k = m\,\omega^2 = 0.002 \,\text{kg}\times (2\pi)^2 = 0.002 \times 39.478 = 0.07896 \,\text{N/m}. \]

\[ k \approx 7.90\times10^{-2} \,\text{N/m}. \]

Paso 5: Fuerza recuperadora en un instante genérico

La fuerza recuperadora de Hooke se expresa como \(\mathbf{F}=-\,k\,x\). Su valor escalar (con signo) en función de \(x\) es:

\[ F(x) = -k\,x. \]

Este signo negativo indica que apunta siempre hacia la posición de equilibrio.

Paso 6: Fuerza recuperadora máxima

La fuerza es máxima en magnitud cuando \(|x|=A\). Por tanto:

\[ F_{\max} = k \,A \approx 0.07896 \,\text{N/m}\times 0.0094\,\text{m} \approx 7.42\times10^{-4}\,\text{N}. \]

Paso 7: Posición cuando la velocidad es 3 cm/s

En un MAS, la velocidad (en valor absoluto) satisface:

\[ v^2 = \omega^2 \,(A^2 - x^2). \]

Buscamos \(x\) cuando \(|v|=3\,\text{cm/s}=0.03\,\text{m/s}\). Con \(\omega=2\pi\) y \(A=0.0094\) m:

\[ (0.03)^2 = (2\pi)^2\bigl(0.0094^2 - x^2\bigr). \]

Izquierda: \((0.03)^2=9\times10^{-4}\). Derecha: \((2\pi)^2 \approx39.478\).

\[ 9\times10^{-4} = 39.478\Bigl(0.0094^2 - x^2\Bigr). \]

Primero, \(0.0094^2=8.836\times10^{-5}\). Multiplicando:

\[ 39.478\times 8.836\times10^{-5} \approx 3.49\times10^{-3}. \]

Así el sistema es

\[ 9\times10^{-4} = 39.478\Bigl(8.836\times10^{-5} - x^2\Bigr) = 3.49\times10^{-3} \;-\; 39.478\,x^2. \]

Pasando términos:

\[ 39.478\,x^2 = 3.49\times10^{-3} \;-\; 9\times10^{-4} = 2.59\times10^{-3}. \]

Por tanto,

\[ x^2 = \frac{2.59\times10^{-3}}{39.478} \approx 6.56\times10^{-5} \quad\Longrightarrow\quad x \approx \pm8.10\times10^{-3}\,\text{m} = \pm0.81\,\text{cm}. \]

Hay dos posibles posiciones (una con \(x>0\), la otra con \(x<0\)) dependiendo de la fase del ciclo. Magnitud \(\approx0.81\) cm.

Resultados Finales

  1. Amplitud: \(\displaystyle A\approx 0.94\,\text{cm}.\)
    Fase inicial: \(\displaystyle \varphi \approx -1.02\,\text{rad}.\)
  2. Aceleración máxima: \(\displaystyle a_{\max}\approx 0.37\,\text{m/s}^2.\)
  3. Constante elástica: \(\displaystyle k\approx 7.90\times10^{-2}\,\text{N/m}.\)
  4. Fuerza recuperadora en función de \(x\): \(\displaystyle F(x)=-\,k\,x.\)
  5. Fuerza recuperadora máxima: \(\displaystyle F_{\max}=k\,A\approx7.42\times10^{-4}\,\text{N}.\)
  6. Posición cuando \(|v|=3\,\text{cm/s}\): \(\displaystyle x\approx\pm0.81\,\text{cm}.\)

Se concluye que, conociendo sólo la posición y velocidad iniciales, más la masa y periodo, se puede caracterizar completamente el movimiento armónico y las fuerzas en juego.

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