Problema Resuelto: Barra Conductora en Movimiento dentro de un Campo Magnético
Una barra conductora de longitud L = 2 m, orientada a lo largo del eje X, se desplaza con velocidad constante \(\vec{v} = 5\,\hat{j}\,\mathrm{m/s}\) (dirección \(+Y\)) dentro de un campo magnético uniforme \(\vec{B} = 4\,\hat{k}\,\mathrm{T}\) (dirección \(+Z\)).
Preguntas:
- Calcule la diferencia de potencial entre los extremos de la barra si no está conectada a ningún circuito externo.
- Describa la distribución de las cargas en el interior de la barra y por qué se produce.
- Indique qué ocurriría si la barra formara parte de un circuito cerrado.
Solución Paso a Paso
1. Diferencia de potencial (f.e.m.) inducida
Cuando un conductor se mueve con velocidad \(\vec{v}\) en un campo magnético \(\vec{B}\), las cargas libres experimentan una fuerza \(\vec{F} = q\,(\vec{v} \times \vec{B})\). Si la barra mide L en la dirección X, podemos usar la fórmula de la “f.e.m. motriz”:
\[ \mathcal{E} \;=\; (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{L}. \]
En magnitud, si \(\vec{v}\), \(\vec{B}\) y la barra son mutuamente perpendiculares:
\[ \mathcal{E} = B \, L \, v. \]
- \(B = 4\,\mathrm{T}\).
- \(L = 2\,\mathrm{m}\).
- \(v = 5\,\mathrm{m/s}\).
\[ \mathcal{E} = 4 \,\mathrm{T} \times 2 \,\mathrm{m} \times 5 \,\mathrm{m/s} = 40 \,\mathrm{V}. \]
Así, el extremo en \(x = 2\,\mathrm{m}\) está a 40 V más alto (en términos de potencial) que el extremo en \(x = 0\) cuando la barra se mueve con esos valores de velocidad y campo magnético.
2. Distribución de las cargas si no hay circuito
Si la barra no forma parte de un circuito cerrado, no puede circular una corriente continua. ¿Qué ocurre entonces?
- Al principio, las fuerzas magnéticas empujan a los electrones libres hacia uno de los extremos (el de menor potencial) y dejan carga neta positiva en el otro.
- Esta separación de cargas genera un campo eléctrico interno que, con muy pocos electrones desplazados, puede llegar a ser suficiente para contrarrestar exactamente la fuerza magnética que impulsaba más electrones.
- Se logra un estado de equilibrio donde no hay flujo neto de electrones y la barra queda con un extremo más negativo y el otro más positivo. La diferencia de potencial resultante es precisamente la f.e.m. de 40 V.
En esta situación, solo se da un pequeño desplazamiento de carga inicial hasta que la fuerza eléctrica interna equilibra la magnética. Luego, ya no se mueven más electrones netamente. No hay una “corriente” permanente.
3. Qué sucedería con un circuito cerrado
En cambio, si la barra estuviera conectada a un circuito externo (por ejemplo, una resistencia y cables que cierren la trayectoria), la f.e.m. inducida de 40 V impulsaría una corriente eléctrica a través de ese circuito.
- La corriente se mantendría mientras haya movimiento de la barra y el campo magnético se conserve.
- Por la Ley de Ohm, \( I = \mathcal{E} / R \) para la intensidad en el circuito.
- La corriente convencional fluiría desde el extremo de mayor potencial (en \(x=2\)) hacia el de menor potencial (en \(x=0\)), cerrando el circuito.
En suma, en un circuito cerrado, la diferencia de potencial no queda “atrapada” en la barra, sino que impulsa electrones por todo el lazo, generando una corriente estable mientras se mantenga el movimiento.
Conclusiones
- La f.e.m. inducida en la barra equivale a 40 V para esos valores de velocidad, longitud y campo magnético.
- Si no hay circuito cerrado, se separan pequeñas cantidades de carga en los extremos, aparece una diferencia de potencial de 40 V y las fuerzas se equilibran, de modo que no hay corriente continua.
- Si la barra se conecta a un circuito externo, el potencial de 40 V genera una corriente (según la Ley de Ohm) que persistirá mientras la barra continúe en movimiento dentro del campo magnético.
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