Campo gravitatorio de un disco

Deducción del Campo Gravitatorio Axial de un Disco

Enunciado del Problema

Calcular mediante integración directa el campo gravitatorio que produce un disco uniforme de masa \( M = 1000\ \mathrm{kg} \) y radio \( R = 1\ \mathrm{m} \), en un punto situado a \( z = 1\ \mathrm{m} \) sobre su eje central.

Deducción Teórica de la Fórmula

Paso 1: Configuración del Problema

Consideremos el disco en el plano XY con centro en el origen. Dividimos el disco en anillos concéntricos de radio \( r \) y espesor \( dr \).

Masa del anillo: \[ dM = \sigma \cdot dA = \sigma \cdot 2\pi r dr \] donde \( \sigma = \frac{M}{\pi R^2} \) es la densidad superficial.

Paso 2: Campo de un Anillo

Para un anillo de radio \( r \), el campo gravitatorio axial a distancia \( z \) es: \[ dg = \frac{G dM z}{(r^2 + z^2)^{3/2}} \] Demostración: Por simetría, las componentes horizontales se cancelan. La componente vertical es: \[ dg_z = \frac{G dM}{s^2} \cos\theta = \frac{G dM}{r^2 + z^2} \cdot \frac{z}{\sqrt{r^2 + z^2}} \] donde \( s = \sqrt{r^2 + z^2} \) y \( \cos\theta = z/s \).

Paso 3: Integración sobre todo el disco

Sustituyendo \( dM = \sigma 2\pi r dr \): \[ g = \int_0^R \frac{G (\sigma 2\pi r dr) z}{(r^2 + z^2)^{3/2}} \] Simplificando constantes: \[ g = 2\pi G \sigma z \int_0^R \frac{r dr}{(r^2 + z^2)^{3/2}} \]

Paso 4: Resolución de la Integral

Haciendo sustitución \( u = r^2 + z^2 \), \( du = 2r dr \): \[ \int \frac{r dr}{(r^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{1}{2} \int u^{-3/2} du = -u^{-1/2} + C \] Evaluando entre 0 y R: \[ \left[ -\frac{1}{\sqrt{r^2 + z^2}} \right]_0^R = \frac{1}{z} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + z^2}} \]

\[ g = 2\pi G \sigma z \left( \frac{1}{z} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + z^2}} \right) = 2\pi G \sigma \left( 1 - \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}} \right) \]

Paso 5: Expresión Final en Términos de M

Sustituyendo \( \sigma = \frac{M}{\pi R^2} \): \[ g = \frac{2 G M}{R^2} \left( 1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} \right) \]

Nota: Esta expresión es válida únicamente para puntos sobre el eje de simetría del disco.

Aplicación Numérica

Con \( M = 1000\ \mathrm{kg} \), \( R = 1\ \mathrm{m} \), \( z = 1\ \mathrm{m} \):

Cálculo del Término Geométrico

\[ \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071 \]

Sustitución en la Fórmula

\[ g = \frac{2(6.674 \times 10^{-11})(1000)}{1^2}(1 - 0.7071) = 1.3348 \times 10^{-7} \times 0.2929 \]

Detalle aritmético:
\( 1.3348 \times 0.2929 = 0.3911 \) ⇒ \( 1.3348 \times 10^{-7} \times 0.2929 = 3.911 \times 10^{-8}\ \mathrm{m/s^2} \)

\[ \boxed{3.91 \times 10^{-8}\ \mathrm{m/s^2} \ \text{hacia el centro del disco}} \]

Análisis Físico

• El resultado es 10 órdenes de magnitud menor que \( g \) terrestre (\( \sim 9.81\ \mathrm{m/s^2} \)), demostrando la debilidad de la gravedad
• Comparación con masa puntual: \( g_{\text{puntual}} = \frac{GM}{z^2} = 6.674 \times 10^{-8}\ \mathrm{m/s^2} \). El disco produce ≈58% del campo de una masa puntual equivalente
• Cuando \( z \gg R \), \( g \to \frac{GM}{z^2} \): recuperamos el caso de masa puntual