Barra Deslizante en un Campo Magnético

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Problema Resuelto: Barra Deslizante en un Campo Magnético

Sea un circuito rectangular donde dos rieles conductores están alineados a lo largo del eje X, separados una distancia de L entre sí. Una barra metálica deslizante (que puede moverse libremente sobre los rieles, sin rozamiento) completa el circuito en la parte superior. El sistema está inmerso en un campo magnético uniforme, \(\displaystyle \vec{B} = B\,\hat{k}\), y la barra se desliza con velocidad constante \(\displaystyle \vec{v} = v\,\hat{j}\) sobre los rieles.

  • La longitud de la barra (paralela al eje X) es \(L\).
  • El campo magnético \(\vec{B}\) apunta en la dirección +Z.
  • La velocidad \(\vec{v}\) es en la dirección +Y.
  • La resistencia total del circuito es \(R\).

Preguntas:

  1. Calcule la fem inducida (\(\mathcal{E}\)) en la barra.
  2. Halle la intensidad de la corriente que circula por el circuito y discuta su sentido a lo largo de la barra.
  3. Explique por qué esta corriente se opone al movimiento de la barra (Ley de Lenz).

Solución Paso a Paso

1. Cálculo de la FEM inducida

Al desplazarse la barra hacia +Y con velocidad \(\displaystyle \vec{v} = v\,\hat{j}\), y al estar el campo magnético en \(\displaystyle \vec{B} = B\,\hat{k}\), las cargas libres del conductor sienten la fuerza de Lorentz \(\displaystyle \vec{F} = q(\vec{v}\times \vec{B})\).

El producto vectorial \(\vec{v}\times \vec{B}\) es:

\[ \vec{v}\times \vec{B} = \bigl(v\,\hat{j}\bigr)\times\bigl(B\,\hat{k}\bigr) = v\,B\,(\hat{j}\times\hat{k}) = v\,B\,\hat{i}, \]

es decir, en dirección +X. Para una barra de longitud \(L\) a lo largo del eje X, la magnitud de la f.e.m. inducida (\(\mathcal{E}\)) es:

\[ \mathcal{E} = \bigl|\bigl(\vec{v}\times \vec{B}\bigr)\cdot\vec{L}\bigr| = B\,L\,v. \]

2. Intensidad de corriente y su sentido en la barra

Si el circuito está cerrado y tiene una resistencia total \(R\), la corriente inducida es (ley de Ohm):

\[ I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{B\,L\,v}{R}. \]

Sentido de la corriente (corriente convencional):

  • El vector \(\vec{v}\times \vec{B}\) apunta en +X, lo cual indica que las cargas positivas “ficticias” se desplazan hacia el extremo x > 0 de la barra.
  • El lado en x > 0 se comporta como polo “+” (mayor potencial), mientras que el extremo en x < 0 está a menor potencial.
  • La corriente eléctrica fluye a lo largo de la barra desde x > 0 hacia x < 0 (corriente convencional).

(Los electrones, en realidad, se mueven en sentido opuesto, pero por convención definimos la corriente de + a -).

3. Oposición al movimiento (Ley de Lenz)

La Ley de Lenz establece que la corriente inducida se opone a la causa que la origina (el aumento del flujo magnético en la superficie del circuito).

  • A medida que la barra se desliza en +Y, aumenta el área del circuito dentro del campo \(\vec{B}\), por tanto aumenta el flujo.
  • La corriente inducida crea un campo magnético que se opone a dicho incremento de flujo.
  • El resultado neto es una fuerza magnética sobre la barra en el sentido -Y, frenando su desplazamiento.

Sin una fuerza externa que mantenga la velocidad, la barra se frenaría hasta detenerse, lo que ilustra la naturaleza de oposición de la Ley de Lenz.

Conclusiones

  1. FEM inducida: \(\displaystyle \mathcal{E} = B\,L\,v\).
  2. Corriente: \(\displaystyle I = \frac{B\,L\,v}{R}\), fluyendo desde x > 0 a x < 0 en la barra (sentido convencional).
  3. Ley de Lenz: La corriente actúa para oponerse al cambio de flujo, generando una fuerza magnética que frena el movimiento de la barra en +Y.

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