Ejercicio Resuelto: F.E.M. Inducida en una Bobina Rectangular en Rotación
En este ejemplo aplicamos la Ley de Faraday para determinar la fuerza electromotriz (f.e.m.) inducida en una bobina (compuesta por varias espiras) que gira en un campo magnético uniforme, así como la corriente resultante.
Enunciado
Tenemos una bobina rectangular formada por 50 espiras. El área total (asumiendo que cada espira es idéntica en área) es \(\displaystyle 2{,}0 \times 10^{-3} \, \text{m}^2\). Esta bobina gira con una velocidad angular de \(\displaystyle 300 \, \text{rad/s}\) dentro de un campo magnético uniforme de \(\displaystyle 0{,}10 \, \text{T}\). El eje de giro es perpendicular a las líneas de campo. La resistencia total del circuito (bobina + resistencia externa) es \(\displaystyle 10 \, \Omega\).
- Encuentre la expresión de la f.e.m. inducida en función del tiempo.
- Determine la corriente inducida en función del tiempo.
- Calcule los valores máximos tanto de la f.e.m. como de la corriente.
- Efectúe la evaluación numérica de dichos valores.
Solución Paso a Paso
Datos:
- Número de espiras (\( N \)): 50
- Área total (\( A \)): \( 2{,}0 \times 10^{-3} \, \text{m}^2 \)
- Velocidad angular (\( \omega \)): 300 \, \text{rad/s}
- Campo magnético (\( B \)): 0{,}10 \, \text{T}
- Resistencia total (\( R \)): 10 \, \Omega
Paso 1: Expresión del flujo magnético
El flujo magnético a través de una sola espira es:
\[ \Phi(t) = B \, A \, \cos(\omega t). \]
Dado que la bobina tiene \( N \) espiras, el flujo total (o flujo concatenado) es:
\[ \Phi_{\text{total}}(t) = N \, B \, A \, \cos(\omega t). \]
Paso 2: Calcular la F.E.M. Inducida \(\mathcal{E}(t)\)
Según la Ley de Faraday, la f.e.m. inducida está dada por:
\[ \mathcal{E}(t) = - \frac{d \, \Phi_{\text{total}}(t)}{dt} = - \frac{d}{dt} \bigl[ N \, B \, A \, \cos(\omega t) \bigr]. \]
La derivada de \(\cos(\omega t)\) es \(-\,\omega\,\sin(\omega t)\), por lo que:
\[ \mathcal{E}(t) = N \, B \, A \, \omega \, \sin(\omega t). \]
Nota: El signo negativo en la Ley de Faraday (Ley de Lenz) indica la dirección de la corriente inducida, que se opone al cambio de flujo. Aquí se muestra la magnitud y la forma senoidal.
Paso 3: Corriente Inducida \(I(t)\)
Si la bobina cierra un circuito con resistencia total \( R \), la corriente inducida se determina mediante la ley de Ohm:
\[ I(t) = \frac{\mathcal{E}(t)}{R} = \frac{N \, B \, A \, \omega \, \sin(\omega t)}{R}. \]
Paso 4: Valores Máximos
Los valores máximos se alcanzan cuando \(\sin(\omega t) = \pm 1\):
-
F.E.M. máxima:
\[ \mathcal{E}_{\text{max}} = N \, B \, A \, \omega. \]
-
Corriente máxima:
\[ I_{\text{max}} = \frac{\mathcal{E}_{\text{max}}}{R} = \frac{N \, B \, A \, \omega}{R}. \]
Paso 5: Sustitución Numérica
- \( N = 50 \)
- \( B = 0{,}10 \,\text{T} \)
- \( A = 2{,}0 \times 10^{-3} \,\text{m}^2 \)
- \( \omega = 300 \,\text{rad/s} \)
- \( R = 10 \,\Omega \)
F.E.M. máxima:
\[ \mathcal{E}_{\text{max}} = N \, B \, A \, \omega = 50 \times 0{,}10 \,\text{T} \times 2{,}0\times10^{-3} \,\text{m}^2 \times 300 \,\text{rad/s} = 3{,}0 \,\text{V}. \]
Corriente máxima:
\[ I_{\text{max}} = \frac{\mathcal{E}_{\text{max}}}{R} = \frac{3{,}0 \,\text{V}}{10 \,\Omega} = 0{,}3 \,\text{A}. \]
Paso 6: Expresiones finales
Por lo tanto, la f.e.m. y la corriente quedan definidas por:
\[ \mathcal{E}(t) = 3{,}0 \,\sin(300 \, t)\quad [\text{V}], \]
\[ I(t) = 0{,}3 \,\sin(300 \, t)\quad [\text{A}]. \]
Conclusión
Este ejercicio ilustra cómo, al rotar una bobina en un campo magnético uniforme, se produce una corriente alterna (AC) con forma sinusoidal. El valor máximo de la f.e.m. inducida depende del número de espiras, de la intensidad del campo magnético, de la velocidad de rotación y de la resistencia en el circuito.
Resolución de este ejercicio en VÍDEO
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