Aceleración en Movimiento Circular

Problema:

Una partícula se mueve con rapidez instantánea de \( 3.00 \, \text{m/s} \) en una trayectoria de radio \( 2.00 \, \text{m} \). Determine:

• a) ¿Podría tener una aceleración de magnitud \( 6.00 \, \text{m/s}^2 \)?
• b) ¿Podría tener \( | \vec{a} | = 4.00 \, \text{m/s}^2 \)?

Solución:

Parte a) ¿Es posible \( | \vec{a} | = 6.00 \, \text{m/s}^2 \)?

Paso 1: Calcular la aceleración centrípeta:

\[ a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(3.00)^2}{2.00} = 4.50 \, \text{m/s}^2 \]

Paso 2: La aceleración total es combinación de la centrípeta (\( a_c \)) y tangencial (\( a_t \)):

\[ | \vec{a} | = \sqrt{a_c^2 + a_t^2} \]

Queremos \( | \vec{a} | = 6.00 \, \text{m/s}^2 \):

\[ \sqrt{(4.50)^2 + a_t^2} = 6.00 \implies 20.25 + a_t^2 = 36.00 \] \[ a_t^2 = 15.75 \implies a_t \approx 3.97 \, \text{m/s}^2 \]

Conclusión: Sí es posible si la partícula tiene una aceleración tangencial de \( 3.97 \, \text{m/s}^2 \).

Parte b) ¿Es posible \( | \vec{a} | = 4.00 \, \text{m/s}^2 \)?

Paso 1: Usamos la misma fórmula:

\[ \sqrt{(4.50)^2 + a_t^2} = 4.00 \implies 20.25 + a_t^2 = 16.00 \] \[ a_t^2 = -4.25 \quad (\text{Imposible, raíz cuadrada de negativo}) \]

Conclusión: No es posible. La aceleración centrípeta mínima (\( 4.50 \, \text{m/s}^2 \)) ya supera \( 4.00 \, \text{m/s}^2 \), y cualquier \( a_t \) aumentaría \( | \vec{a} | \).

Respuestas finales:

• a) Sí, con \( a_t \approx 3.97 \, \text{m/s}^2 \).
• b) No, es físicamente imposible.

Nota: La aceleración tangencial representa cambios en la rapidez, mientras que la centrípeta está asociada a cambios en la dirección.