Calculo Integral en Física

🚀 Ejercicio 1: Cohete con masa variable (Dinámica)

Enunciado: Un cohete de 5000 kg quema combustible a razón de \( \frac{dm}{dt} = -50\ \text{kg/s} \), expulsando gases a \( v_{ex} = 2500\ \text{m/s} \). Calcula su velocidad después de 10 segundos si parte del reposo.

📚 Resolución:

Ecuación de Tsiolkovsky:

\[ \Delta v = v_{ex} \ln\left(\frac{m_0}{m(t)}\right) \]

Masa inicial \( m_0 = 5000\ \text{kg} \)

Masa final (\( t = 10\ \text{s} \)):

\[ m(t) = 5000 - 50 \times 10 = 4500\ \text{kg} \]

Integral aplicada:

\[ \int_{0}^{v} dv = \int_{0}^{10} \frac{v_{ex}}{m(t)} \left(-\frac{dm}{dt}\right) dt \] \[ v = 2500 \cdot \ln\left(\frac{5000}{4500}\right) \approx \boxed{263.2\ \text{m/s}} \]

⚡ Ejercicio 2: Campo eléctrico de varilla cargada (Electromagnetismo)

Enunciado: Una varilla de 1 m tiene carga total \( Q = 2\ \mu C \). Calcula el campo eléctrico en un punto a 0.5 m de su centro, perpendicular al eje.

📚 Resolución:

Densidad lineal de carga:

\[ \lambda = \frac{Q}{L} = 2 \times 10^{-6}\ \text{C/m} \]

Elemento diferencial de campo:

\[ dE = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda\ dx}{r^2} \cos\theta \]

Integral desde \( x = -0.5\ \text{m} \) hasta \( x = 0.5\ \text{m} \):

\[ E = \int_{-0.5}^{0.5} \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0} \frac{dx}{(x^2 + 0.5^2)} \cdot \frac{0.5}{\sqrt{x^2 + 0.5^2}} \] \[ E = \frac{\lambda \cdot 0.5}{4\pi\epsilon_0} \int_{-0.5}^{0.5} \frac{dx}{(x^2 + 0.25)^{3/2}} \]

Solución integral:

\[ E = \frac{(2\times10^{-6}) \cdot 0.5}{4\pi(8.85\times10^{-12})} \left[\frac{x}{0.25\sqrt{x^2 + 0.25}}\right]_{-0.5}^{0.5} = \boxed{1.28 \times 10^4\ \text{N/C}} \]

🌡️ Ejercicio 3: Trabajo en expansión gaseosa (Termodinámica)

Enunciado: Un gas ideal se expande siguiendo \( P(V) = \frac{3}{V}\ \text{atm} \) desde \( V_1 = 1\ \text{m}^3 \) hasta \( V_2 = 4\ \text{m}^3 \). Calcula el trabajo realizado.

📚 Resolución:

Fórmula del trabajo:

\[ W = \int_{V_1}^{V_2} P(V)\ dV \]

Conversión de unidades:

\[ 1\ \text{atm} = 101325\ \text{Pa} \] \[ W = \int_{1}^{4} \frac{3 \times 101325}{V}\ dV \]

Integral resultante:

\[ W = 303975 \int_{1}^{4} \frac{1}{V}\ dV = 303975 \ln\left(\frac{4}{1}\right) \] \[ W \approx 303975 \times 1.386 = \boxed{421.2\ \text{kJ}} \]