Campo Eléctrico de una Varilla Cargada
¿Cómo calcular el campo eléctrico generado por una varilla cargada en un punto perpendicular a su eje? Un problema clásico que combina simetría y cálculo integral. ¡Desglosémoslo!
Datos Iniciales
- Longitud de la varilla: \( L = 1 \, \text{m} \)
- Carga total: \( Q = 2 \, \mu\text{C} = 2 \times 10^{-6} \, \text{C} \)
- Distancia al punto: \( a = 0.5 \, \text{m} \) (desde el centro)
- Constante de Coulomb: \( k = 8.988 \times 10^9 \, \text{N·m}^2/\text{C}^2 \)
Paso 1: Densidad Lineal de Carga
Definimos la densidad de carga (\(\lambda\)):
\[ \lambda = \frac{Q}{L} = 2 \times 10^{-6} \, \text{C/m} \]Paso 2: Simetría y Componentes del Campo
La varilla se extiende desde \( x = -0.5 \, \text{m} \) hasta \( x = 0.5 \, \text{m} \). El punto de interés está en \( (0, a) \).
Simetría clave: Las componentes horizontales (\( E_x \)) de elementos simétricos se cancelan. Solo contribuye la componente vertical (\( E_y \)).
Paso 3: Campo de un Elemento \( dq \)
Para un elemento \( dq = \lambda \, dx \), el campo \( dE \) es:
\[ dE = \frac{k \, dq}{r^2} = \frac{k \lambda \, dx}{x^2 + a^2} \]La componente vertical se obtiene con el coseno del ángulo \(\theta\) entre \( d\vec{E} \) y el eje \( y \):
\[ \cos\theta = \frac{a}{\sqrt{x^2 + a^2}} \implies dE_y = \frac{k \lambda a \, dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} \]Paso 4: Integración en Toda la Varilla
Integramos de \( x = -0.5 \, \text{m} \) a \( x = 0.5 \, \text{m} \). Por simetría:
\[ E_y = 2 \int_{0}^{0.5} \frac{k \lambda a \, dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} \]Paso 5: Resolución de la Integral
Usando la solución estándar para la integral:
\[ \int \frac{dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} = \frac{x}{a^2 \sqrt{x^2 + a^2}} \Bigg|_{0}^{0.5} \]Sustituyendo \( a = 0.5 \):
\[ \frac{0.5}{(0.5)^2 \sqrt{0.25 + 0.25}} = \frac{0.5}{0.25 \cdot 0.7071} \approx 2.8284 \]Paso 6: Resultado Final
Reemplazando todos los valores:
\[ E_y = 2 \cdot (8.988 \times 10^9) \cdot (2 \times 10^{-6}) \cdot 0.5 \cdot 2.8284 \approx 5.09 \times 10^4 \, \text{N/C} \]Conclusión
El campo eléctrico a 0.5 m del centro de la varilla es:
\[ \boxed{E = 5.09 \times 10^4 \, \text{N/C} \quad \text{(Dirección radial desde la varilla)}} \]
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