Conservación del Momento Lineal
Una granada que se desplaza horizontalmente a una velocidad de 8 km·s−1 con respecto a la tierra explota en tres segmentos iguales. Uno de ellos continúa moviéndose horizontalmente a 16 km·s−1, otro se desplaza hacia arriba haciendo un ángulo de 45° y el tercero se desplaza haciendo un ángulo de 45° bajo la horizontal. Encontrar la magnitud de las velocidades del segundo y tercer fragmentos.
Solución detallada
Datos del problema:
- Velocidad inicial de la granada: \( v_0 = 8 \,\text{km·s}^{-1} \) (horizontal).
- Después de la explosión, cada fragmento tiene masa \( m = \frac{M}{3} \), donde \( M \) es la masa total de la granada.
- Velocidades finales de los tres fragmentos:
- Primer fragmento: \( v_1 = 16 \,\text{km·s}^{-1} \) (horizontal).
- Segundo fragmento: \( v_2 \), en dirección \( 45^\circ \) por encima de la horizontal.
- Tercer fragmento: \( v_3 \), en dirección \( 45^\circ \) por debajo de la horizontal.
1. Conservación del momento lineal
Sea la masa total de la granada antes de la explosión \( M \). La velocidad inicial es únicamente horizontal:
\[ \vec{p}_\text{inicial} = M \, v_0 \,\hat{i} = M \times 8 \,\hat{i} = 8M \,\hat{i}. \]
Tras la explosión, la masa total se reparte en tres partes iguales de masa \( m = \frac{M}{3} \). La cantidad de movimiento final será la suma vectorial de las cantidades de movimiento de cada fragmento:
\[ \vec{p}_\text{final} = m\,\vec{v}_1 + m\,\vec{v}_2 + m\,\vec{v}_3. \]
Por la condición de conservación del momento lineal, tenemos:
\[ \vec{p}_\text{inicial} = \vec{p}_\text{final}. \]
2. Definición de velocidades finales
Primer fragmento (horizontal): \[ \vec{v}_1 = 16 \,\hat{i}\,\text{km·s}^{-1}. \] Segundo fragmento (ángulo de 45° sobre la horizontal): Sea su magnitud \( v_2 \). Podemos descomponerla en componentes: \[ \vec{v}_2 = v_2 \cos 45^\circ \,\hat{i} + v_2 \sin 45^\circ \,\hat{j}. \] Tercer fragmento (ángulo de 45° bajo la horizontal): Sea su magnitud \( v_3 \). La descomposición en componentes es: \[ \vec{v}_3 = v_3 \cos 45^\circ \,\hat{i} - v_3 \sin 45^\circ \,\hat{j}. \]
3. Componentes de la conservación del momento
La componente horizontal del momento lineal antes de la explosión es: \[ p_{x,\text{inicial}} = 8M. \] La componente vertical es cero, pues no hay velocidad vertical inicial.
Después de la explosión, la componente horizontal del momento lineal es:
\[ p_{x,\text{final}} = m (16) + m \bigl(v_2 \cos 45^\circ\bigr) + m \bigl(v_3 \cos 45^\circ\bigr), \]
y la componente vertical es:
\[ p_{y,\text{final}} = m \bigl(v_2 \sin 45^\circ\bigr) - m \bigl(v_3 \sin 45^\circ\bigr). \]
3.1. Conservación en el eje vertical
Dado que inicialmente \( p_{y,\text{inicial}} = 0 \), tenemos \[ p_{y,\text{final}} = 0. \] Por tanto:
\[ m \bigl(v_2 \sin 45^\circ \bigr) - m \bigl(v_3 \sin 45^\circ \bigr) = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_2 \sin 45^\circ = v_3 \sin 45^\circ \quad\Longrightarrow\quad v_2 = v_3. \] Denotemos \( v = v_2 = v_3 \).
3.2. Conservación en el eje horizontal
El momento inicial en el eje x es \( 8M \). El momento final en ese eje debe ser el mismo:
\[ 8M = m \cdot 16 + m \bigl(v \cos 45^\circ \bigr) + m \bigl(v \cos 45^\circ \bigr). \] Como \( m = \frac{M}{3} \), podemos factorizar:
\[ 8M = \frac{M}{3}\bigl[16 + v \cos 45^\circ + v \cos 45^\circ\bigr] = \frac{M}{3}\bigl[16 + 2v \cos 45^\circ\bigr]. \]
Cancelando \( M \) en ambos lados y multiplicando por 3:
\[ 24 = 16 + 2\,v \cos 45^\circ \quad\Longrightarrow\quad 2\,v \cos 45^\circ = 24 - 16 = 8. \] \[ v \cos 45^\circ = 4. \]
Recordemos que \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Entonces:
\[ v \,\frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{4 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}. \]
4. Resultado
Por tanto, la magnitud de la velocidad de los fragmentos que se mueven a \( 45^\circ \) por encima y por debajo de la horizontal es
\[ \boxed{ v_2 = v_3 = 4\sqrt{2}\,\text{km·s}^{-1} \approx 5.66\,\text{km·s}^{-1}. } \]
¡Y con esto queda resuelto el ejercicio!
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