Ecuación de una Onda Transversal

Ejercicio Resuelto: Parámetros de una Onda Transversal

Una onda transversal, que se propaga de derecha a izquierda, tiene una longitud de onda de 25 m, una amplitud de 4 m y una velocidad de 150 m/s. Se pide calcular:

1. La ecuación de la onda.
2. La velocidad transversal máxima de un punto alcanzado por la onda.
3. La aceleración máxima de un punto del medio.

Solución Detallada

Paso 1: Cálculo de \(k\) y \(\omega\)

La longitud de onda \(\lambda\) y la velocidad de propagación \(v\) nos permiten obtener el número de onda \(k\) y la frecuencia angular \(\omega\):

• Número de onda: \[ k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{25} \approx 0.2513 \,\text{rad/m}. \]
• Frecuencia angular: \[ \omega = v\,k = 150 \times 0.2513 \approx 37.7 \,\text{rad/s}. \]

Como la onda se propaga de derecha a izquierda, la ecuación presentará un argumento de la forma \(\omega\,t + k\,x\).

Paso 2: Ecuación de la onda

Para una onda transversal con amplitud \(A\), número de onda \(k\), y frecuencia angular \(\omega\), que viaja de derecha a izquierda, la ecuación genérica es:

\[ y(x,t) = A \cos(\omega\,t + k\,x). \]

Sustituyendo \(A = 4\,\text{m}\), \(\omega \approx 37.7\,\text{rad/s}\), y \(k \approx 0.2513\,\text{rad/m}\):

\[ y(x,t) = 4\,\cos\bigl(37.7\,t + 0.2513\,x\bigr)\quad (\text{m}). \]

Paso 3: Velocidad transversal máxima

La onda desplaza verticalmente cada punto del medio con una velocidad de oscilación. La velocidad transversal de un punto es:

\[ v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -\,A\,\omega\,\sin(\omega\,t + k\,x). \]

Por lo tanto, la velocidad máxima (en magnitud) que alcanza cada punto es:

\[ v_{\max} = A\,\omega = 4\,\text{m} \times 37.7\,\text{rad/s} \approx 151 \,\text{m/s}. \]

Paso 4: Aceleración transversal máxima

La aceleración transversal es la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

\[ a_y(x,t) = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -\,A\,\omega^2\,\cos(\omega\,t + k\,x). \]

Su valor máximo (en magnitud) es:

\[ a_{\max} = A\,\omega^2 = 4 \,\text{m} \times (37.7)^2 \approx 4 \times 1420.29 = 5681 \,\text{m/s}^2. \]

Resultados Finales

1. Ecuación de la onda:
   \(\displaystyle y(x,t) = 4\,\cos\bigl(37.7\,t + 0.2513\,x\bigr)\,\text{m}.\)
2. Velocidad transversal máxima:
   \(\displaystyle v_{\max}\approx 151\,\text{m/s}.\)
3. Aceleración máxima:
   \(\displaystyle a_{\max}\approx 5681\,\text{m/s}^2.\)

Nótese que la onda viaja en sentido de derecha a izquierda debido al signo positivo en \(\omega\,t + k\,x\).