Ecuación del oscilador armónico

Problema: Oscilador armónico simple con 20 cm de desplazamiento total

Se tiene un oscilador armónico simple que se mueve entre dos puntos cuya distancia total es de 20 cm. Además, el oscilador tiene una frecuencia de 10 Hz y una fase inicial de 30°. Se pide determinar la ecuación del oscilador.

Solución Detallada

Datos clave:

• Distancia total = 20 cm
• Frecuencia (\( f \)) = 10 Hz
• Fase inicial = 30°

Paso 1: Calcular la amplitud (A)

La amplitud es la mitad de la distancia total recorrida por el oscilador. Dado que la distancia total es 20 cm:

\[ A = \frac{20 \,\text{cm}}{2} = 10\, \text{cm} \]

Paso 2: Calcular la frecuencia angular (\(\omega\))

A partir de la frecuencia \( f = 10 \,\text{Hz} \), la frecuencia angular se determina como:

\[ \omega = 2\pi f = 2\pi \times 10 = 20\pi \,\text{rad/s} \]

Paso 3: Convertir la fase inicial (30°) a radianes

Para convertir de grados a radianes, se usa la relación \( 180^\circ \equiv \pi \,\text{rad} \).

\[ 30^\circ = \frac{30 \times \pi}{180} = \frac{\pi}{6} \,\text{rad} \]

Paso 4: Ecuación final del oscilador

Sustituyendo los valores de \( A \), \( \omega \) y la fase inicial (\(\phi = \frac{\pi}{6}\)) en la ecuación general de un oscilador armónico simple:

\[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \]

Resulta:

\[ x(t) = 10\,\cos\bigl( 20\pi \, t + \tfrac{\pi}{6} \bigr) \]

Resultado final:

La ecuación del oscilador, en centímetros y segundos, es \(\displaystyle x(t) = 10\,\cos\bigl(20\pi\, t + \tfrac{\pi}{6}\bigr)\).

Interpretación física:

• El oscilador se desplaza 20 cm de un extremo a otro, con amplitud de 10 cm desde su posición de equilibrio.
• Su frecuencia de 10 Hz implica 10 oscilaciones completas por segundo.
• Una fase inicial de 30° ( \(\tfrac{\pi}{6}\) rad) indica la posición inicial del oscilador en el ciclo de oscilación.