Energía de Sistema Masa que Cuelga de Muelle

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Ejercicio Resuelto: Oscilación de una Masa con un Muelle

Un muelle elástico de 12,0 cm tiene uno de sus extremos fijo en la pared vertical mientras que el otro está unido a una masa que descansa en una superficie horizontal sin rozamiento. Se le aplica una fuerza de 25 N para mantenerlo estirado hasta una longitud de 17,0 cm. En esta posición se suelta para que oscile libremente con una frecuencia angular de 1,50 rad/s.

Calcula:

  1. La constante recuperadora del resorte.
  2. La masa que oscila.
  3. La ecuación del m.a.s. resultante.
  4. Las energías cinética y potencial cuando \( x = 2 \) cm.

Solución Detallada

Paso 1: Cálculo de la constante elástica del resorte

Para mantener el muelle estirado desde 12,0 cm hasta 17,0 cm, se ha aplicado una fuerza de 25 N. Por la Ley de Hooke:

\[ F = k\, \Delta x. \]

Despejando la constante elástica \(k\):

\[ k = \frac{F}{\Delta x}. \]

Aquí, \(F = 25\,\text{N}\) y \(\Delta x = 17,0\,\text{cm} - 12,0\,\text{cm} = 5,0\,\text{cm} = 0,05\,\text{m}\).

\[ k = \frac{25}{0.05} = 500 \,\text{N/m}. \]

Paso 2: Cálculo de la masa oscilante

La frecuencia angular de la oscilación libre es \(\omega = 1{,}50 \,\text{rad/s}\). Además, \(\omega\) se relaciona con la masa y la constante elástica por:

\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \;\;\Longrightarrow\;\; m = \frac{k}{\omega^2}. \]

Sustituyendo \(k=500\ \text{N/m}\) y \(\omega=1{,}50 \,\text{rad/s}\):

\[ m = \frac{500}{(1.50)^2} = \frac{500}{2.25} \approx 222{,}22 \,\text{kg}. \]

Paso 3: Ecuación del movimiento

Al soltarse desde la elongación máxima (sin velocidad inicial), el movimiento armónico simple se describe por:

\[ x(t) = A \cos(\omega t). \]

  • El amplitud es \( A = 17,0\,\text{cm} - 12,0\,\text{cm} = 5,0\,\text{cm} = 0,05\,\text{m}. \)
  • \(\omega = 1{,}50\ \text{rad/s}\).

\[ x(t) = 0{,}05 \,\cos\bigl(1{,}50\,t\bigr) \quad (\text{m}). \]

Paso 4: Energías cinética y potencial en \( x = 2 \) cm

La energía mecánica total (sin rozamiento) se conserva y es:

\[ E = \frac{1}{2}\, k \, A^2. \]

\[ E = \tfrac{1}{2}\,(500)\,(0{,}05)^2 = 250 \times 0{,}0025 = 0{,}625 \,\text{J}. \]

En la posición \( x=2 \,\text{cm} \) (\(0{,}02\ \text{m}\)):

\[ U = \frac{1}{2}\,k\,x^2 = \tfrac{1}{2}\,(500)\,(0{,}02)^2. \]

\[ U = 250 \times (0{,}0004) = 0{,}1 \,\text{J}. \]

Por tanto, la energía cinética en ese punto es:

\[ K = E - U. \]

\[ K = 0{,}625 - 0{,}1 = 0{,}525 \,\text{J}. \]

Resultados Finales

  1. Constante elástica del resorte: \( k = 500 \,\text{N/m}.\)
  2. Masa oscilante: \( m \approx 222{,}22 \,\text{kg}.\)
  3. Ecuación del movimiento: \(\displaystyle x(t) = 0{,}05\,\cos\bigl(1{,}50\,t\bigr)\ \text{m}.\)
  4. Energías en \(x=2\) cm:
    • Energía potencial: \(\displaystyle U=0{,}1\ \text{J}.\)
    • Energía cinética: \(\displaystyle K=0{,}525\ \text{J}.\)

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