Equilibrio de 3 cargas en el eje X

Equilibrio electrostático entre tres cargas

Tres cargas puntuales están alineadas en el eje X:

• \( q_1 = 10\ \mu C \) en \( x = 1.2\ \mathrm{m} \)
• \( q_2 = 5\ \mu C \) en el origen (\( x = 0 \))
• \( q_3 \) (negativa) entre ellas, donde la fuerza neta es cero

Determinar la posición exacta de \( q_3 \).

Paso 1: Configuración de fuerzas

Por la Ley de Coulomb:

\[ F_{23} = k\frac{|q_2q_3|}{x^2} \quad (\text{hacia la izquierda}) \] \[ F_{13} = k\frac{|q_1q_3|}{(1.2 - x)^2} \quad (\text{hacia la derecha}) \]

Para equilibrio: \( F_{23} = F_{13} \)

Paso 2: Simplificación de la ecuación

\[ \frac{q_2}{x^2} = \frac{q_1}{(1.2 - x)^2} \]

Sustituyendo valores (\( q_1 = 10\mu C \), \( q_2 = 5\mu C \)):

\[ \frac{5}{x^2} = \frac{10}{(1.2 - x)^2} \implies 2x^2 = (1.2 - x)^2 \]

Paso 3: Resolución de la ecuación cuadrática

Expandiendo y reorganizando:

\[ 2x^2 = 1.44 - 2.4x + x^2 \implies x^2 + 2.4x - 1.44 = 0 \]

Usando la fórmula cuadrática:

\[ x = \frac{-2.4 \pm \sqrt{(2.4)^2 + 4(1.44)}}{2} = \frac{-2.4 \pm 3.391}{2} \]

Solución física (\( x > 0 \)):

\[ x = \frac{0.991}{2} \approx 0.496\ \mathrm{m} \]

\[ \boxed{0.496\ \mathrm{m} \ \text{desde el origen hacia~} q_1} \]

Verificación

Calculando ambas fuerzas:

\[ F_{23} = \frac{5}{(0.496)^2} \approx 20.33\ \mathrm{u} \] \[ F_{13} = \frac{10}{(1.2 - 0.496)^2} \approx 20.33\ \mathrm{u} \]

¡Las fuerzas se equilibran exactamente!