Estudio del Movimiento Armónico Simple. Problema

Ejercicio Resuelto: Movimiento Armónico Simple

Una partícula se mueve con un movimiento armónico simple (MAS) entre dos puntos separados 15 cm. Realiza 3 vibraciones completas en 1 segundo. Se sabe que en \(t = 0\), la partícula está en la posición \(\displaystyle x = \frac{A}{3}\) (con \(A\) la amplitud del movimiento) y se dirige hacia el extremo positivo \((+)\). Se pide:

1. La ecuación del movimiento.
2. El instante en que pasa por primera vez por la posición de equilibrio.
3. El instante en que alcanza por primera vez la elongación máxima \((+A)\).

Solución Detallada

Paso 1: Datos y magnitudes características

• Distancia total de oscilación: 15 cm \(\implies\) la amplitud es \(A = \frac{15}{2} = 7.5\) cm.
• Número de vibraciones en 1 s: 3 \(\implies\) frecuencia \(f = 3 \,\text{Hz}\).
• Frecuencia angular: \(\omega = 2\pi f = 2\pi \times 3 = 6\pi \,\text{rad/s}\).
• Condición inicial: \(x(0) = \frac{A}{3} = 2.5 \,\text{cm}\), con la partícula moviéndose hacia \(+x\).

Nota: trabajaremos en centímetros para la elongación, y en segundos para el tiempo.

Paso 2: Ecuación general del MAS y fase inicial

En un MAS, la posición puede describirse como:

\[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi). \]

Se imponen las condiciones iniciales:

• \( x(0) = \frac{A}{3} \implies \frac{A}{3} = A \cos(\varphi) \;\Rightarrow\; \cos(\varphi) = \frac{1}{3}. \)
• La partícula se dirige hacia \(+x\) en \(t=0\), lo cual implica \(v(0) > 0\). Recordemos que \(\displaystyle v(t) = -\omega \, A \sin(\omega t + \varphi)\). Entonces \(v(0) = -\omega A \sin(\varphi)\) debe ser \(> 0\), esto exige \(\sin(\varphi) < 0\).

El valor \(\cos(\varphi) = \tfrac{1}{3}\) con \(\sin(\varphi) < 0\) corresponde a un ángulo en el 4° cuadrante, es decir:

\[ \varphi = -\,\arccos\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr). \]

Numéricamente, \(\arccos\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) \approx 1.231 \,\text{rad}\), por lo que \(\varphi \approx -1.231 \,\text{rad}\).

Paso 3: Ecuación del movimiento

Con \(\omega = 6\pi\) rad/s y \(\varphi = -\arccos\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)\), la posición en centímetros viene dada por:

\[ x(t) = 7.5 \,\cos\!\Bigl(6\pi \,t \;-\;\arccos\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)\Bigr) \quad \text{(cm)}. \]

Paso 4: ¿Cuándo pasa por la primera vez por el equilibrio?

La posición de equilibrio es \(x = 0\). Buscamos el primer \(t > 0\) tal que

\[ 7.5 \,\cos\!\bigl(6\pi \,t + \varphi\bigr) = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; \cos\!\bigl(6\pi \,t + \varphi\bigr) = 0. \]

La condición general para \(\cos(\alpha)=0\) es \(\alpha = \tfrac{\pi}{2} + k\pi\). Para el primer cruce positivo de tiempo (\(k=0\)):

\[ 6\pi \,t + \varphi = \frac{\pi}{2} \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{\tfrac{\pi}{2} - \varphi}{6\pi}. \]

Como \(\varphi\) es negativo, \(\tfrac{\pi}{2} - \varphi\) es algo mayor que \(\tfrac{\pi}{2}\). Numéricamente:

\varphi \approx -1.231,\quad \tfrac{\pi}{2} \approx 1.571 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{\pi}{2} - \varphi \approx 2.802.

Entonces:

\[ t \approx \frac{2.802}{6\pi} \approx \frac{2.802}{18.8496} \approx 0.1486 \,\text{s}. \]

Paso 5: ¿Cuándo alcanza por primera vez el máximo (+A)?

El máximo positivo de x es \(+A\). Buscamos \(t>0\) tal que \(x(t)=+A=7.5\) cm:

\[ 7.5\,\cos\!\bigl(6\pi \,t + \varphi\bigr) = 7.5 \quad\Longrightarrow\quad \cos\!\bigl(6\pi \,t + \varphi\bigr) = 1. \]

\(\cos(\alpha)=1\) \(\implies\) \(\alpha = 2k\pi\). Para el primer tiempo positivo (\(k=0\)):

\[ 6\pi \,t + \varphi = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = -\,\frac{\varphi}{6\pi}. \]

Dado \(\varphi<0\), \(-\varphi>0\), por lo que:

\[ t = \frac{-\bigl(-1.231\bigr)}{6\pi} = \frac{1.231}{18.8496} \approx 0.0653 \,\text{s}. \]

Así, la partícula alcanza su elongación máxima positiva por primera vez en \(\approx 0.065 \,\text{s}\).

Resultados finales

1. Ecuación del movimiento: \[ x(t) = 7.5\,\cos\!\bigl(6\pi\,t - \arccos(\tfrac{1}{3})\bigr)\,\text{cm}. \]
2. Primer cruce por el equilibrio (\(x=0\)): \[ t \approx 0.1486\ \text{s}. \]
3. Primer instante de elongación máxima \((+A)\): \[ t \approx 0.0653\ \text{s}. \]

El orden de los sucesos tiene sentido: la partícula parte de \(x=A/3\) con velocidad positiva, primero alcanza el extremo \(+A\) y, tras cambiar de sentido, cruza el equilibrio más tarde.