Problema: Frecuencia angular de un oscilador armónico
Un oscilador armónico completa 15 vibraciones en 10 segundos. Determinar:
\[ \text{¿Cuál es su frecuencia angular } \omega \text{?} \]
Solución Detallada
Datos clave:
- Tiempo total (\(t\)) = 10 s
- Número de vibraciones (\(N\)) = 15
Paso 1: Calcular el período (\(T\))
El período es el tiempo que tarda en realizar una vibración completa:
\[ T = \frac{\text{Tiempo total}}{\text{Número de vibraciones}} \]
Sustituyendo valores:
\[ T = \frac{10\ \text{s}}{15} = \frac{2}{3}\ \text{s} \approx 0.6667\ \text{s} \]
Paso 2: Relacionar período con frecuencia angular
La frecuencia angular (\(\omega\)) se calcula mediante:
\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \]
Sustituyendo el valor de \(T\):
\[ \omega = \frac{2\pi}{\frac{2}{3}\ \text{s}} = 3\pi\ \text{rad/s} \]
Verificación dimensional:
Unidades de \(\omega\):
\[ \frac{\text{rad}}{\text{s}} \rightarrow \text{Correcto (unidades de frecuencia angular)} \]
Resultado final:
\[ \boxed{\omega = 3\pi\ \text{rad/s} \approx 9.4248\ \text{rad/s}} \]
¿Qué significa este valor?
Una frecuencia angular de \(3\pi\ \text{rad/s}\) indica que:
- El oscilador completa \(1.5\) ciclos por segundo (frecuencia \(f = \frac{\omega}{2\pi} = 1.5\ \text{Hz}\))
- Su fase cambia \(9.4248\) radianes cada segundo
- Tarda aproximadamente \(0.6667\) segundos en volver a su posición inicial
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