Masa Suspendida de un Resorte

Ejercicio Resuelto: Oscilación de una Masa Suspendida de un Resorte

Una masa de 3,0 kg cuelga de un resorte cuya constante elástica es k = 50 N/m y puede oscilar libremente sin rozamiento. Desplazamos la masa 15,0 cm de su posición de equilibrio y la soltamos para que empiece a oscilar. Calcula:

1. La ecuación del movimiento de la masa.
2. El período de oscilación.
3. La velocidad y la aceleración máximas.
4. La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra 5,0 cm por encima de la posición de equilibrio.

Solución Detallada

Paso 1: Datos del sistema y elección de ejes

• Masa: \( m = 3.0 \,\text{kg}\)
• Constante elástica: \( k = 50 \,\text{N/m}\)
• Desplazamiento inicial (amplitud): \( A = 15.0\,\text{cm} = 0.15 \,\text{m} \)
• Velocidad inicial: \(v(0)=0\) (se suelta desde el reposo)

Definimos el origen de coordenadas en la posición de equilibrio del resorte, y el eje vertical positivo hacia abajo. Así, cuando la masa se encuentra desplazada \(+0.15\,\text{m}\) de la posición de equilibrio, decimos \(x=+0.15\,\text{m}\).

Paso 2: Ecuación del movimiento

En un movimiento armónico simple (MAS), si la masa se suelta desde la elongación máxima \(A\) con velocidad inicial cero, la posición en función del tiempo es:

\[ x(t) = A\,\cos(\omega t), \]

donde \(\omega = \sqrt{\tfrac{k}{m}}\) es la frecuencia angular. En este caso:

\[ \omega = \sqrt{\frac{50}{3.0}} \approx \sqrt{16.6667} \approx 4.08\ \text{rad/s}. \]

Con \(A = 0.15\,\text{m}\), la ecuación de posición (tomando \(t=0\) en el instante de soltarse) queda:

\[ x(t) = 0.15\ \cos(4.08\,t)\quad\text{(m)}. \]

Paso 3: Período de oscilación

El período de un MAS con constante elástica \(k\) y masa \(m\) es:

\[ T = 2\pi \,\sqrt{\frac{m}{k}}. \]

Sustituyendo valores:

\[ T = 2\pi \,\sqrt{\frac{3.0}{50}} = 2\pi \,\sqrt{0.06} \approx 2\pi \times 0.245 \approx 1.54\ \text{s}. \]

Paso 4: Velocidad y aceleración máximas

• Velocidad máxima en un MAS: \(\displaystyle v_{\max} = \omega \, A\).

  \[ v_{\max} = 4.08 \,\text{rad/s} \times 0.15 \,\text{m} \approx 0.61 \,\text{m/s}. \]

• Aceleración máxima: \(\displaystyle a_{\max} = \omega^2 \, A = \bigl(\tfrac{k}{m}\bigr) A.\)

  \[ a_{\max} = 4.08^2 \times 0.15 \approx 16.65 \times 0.15 \approx 2.50\ \text{m/s}^2. \]

Paso 5: Fuerza recuperadora a 5,0 cm por encima del equilibrio

La fuerza recuperadora (de Hooke) es \(\displaystyle F = -\,k\,x\). Con nuestro eje positivo hacia abajo, si la masa está 5,0 cm por encima de la posición de equilibrio, eso significa \(\displaystyle x = -0.05 \,\text{m}\) (es decir, un desplazamiento de 5 cm en sentido opuesto a la dirección positiva).

\[ F = -50\ \bigl(-0.05\bigr) = +2.5\ \text{N}. \]

El signo positivo indica que la fuerza se dirige hacia abajo, tratando de restaurar la masa a la posición de equilibrio.

Resultados Finales

1. Ecuación del movimiento:
   \(\displaystyle x(t)=0.15\,\cos(4.08\,t)\ \text{m}.\)
2. Período de oscilación:
   \(\displaystyle T\approx1.54\ \text{s}.\)
3. Velocidad y aceleración máximas:
   \(\displaystyle v_{\max}\approx0.61\,\text{m/s},\quad a_{\max}\approx2.50\,\text{m/s}^2.\)
4. Fuerza recuperadora a \(x=-0.05\) m:
   \(\displaystyle F=+2.5\,\text{N}\) (hacia abajo).

Este ejemplo ilustra el comportamiento de un sistema masa-resorte en oscilación vertical, donde la fuerza de restauración es proporcional al desplazamiento respecto de la posición de equilibrio.