Modelo Atómico de Bohr

Modelo Atómico de Bohr

El Modelo Atómico de Bohr, propuesto por Niels Bohr en 1913, describe la estructura del átomo de hidrógeno (y sistemas análogos) a partir de la cuantización de los niveles de energía del electrón. Este modelo representó un paso trascendental al conciliar la física clásica con los postulados cuánticos emergentes de principios del siglo XX.

Explicación Detallada

Postulados del Modelo de Bohr

• Cuantización de las órbitas: El electrón solo puede ocupar órbitas estacionarias en las cuales no emite energía, y para las que el momento angular cumple:

  \[ m_{e} v_{n} r_{n} = n\,h/2\pi, \quad n = 1, 2, 3, \dots \]

  donde \(m_{e}\) es la masa del electrón, \(v_{n}\) la velocidad en la órbita \(n\), \(r_{n}\) el radio de la órbita y \(h\) la constante de Planck.
• Emisión y absorción de energía: El electrón salta entre órbitas al emitir o absorber un fotón cuya energía es igual a la diferencia de energías entre estados:

  \[ \Delta E = E_{n_i} - E_{n_f} = h\,\nu. \]

• Energía en cada nivel: Para el átomo de hidrógeno, Bohr dedujo que la energía de la órbita \(n\) viene dada por:

  \[ E_n = - \frac{13.6 \,\text{eV}}{n^2}. \]

  Este valor es negativo porque el electrón se encuentra ligado al núcleo: la energía de referencia (cero) se toma a distancia infinita.

Radio de las Órbitas de Bohr

El radio de Bohr para el nivel fundamental (\(n=1\)) es:

\[ r_1 = a_0 \approx 0.529 \times 10^{-10} \,\text{m}. \]

Para niveles superiores, el radio es \(r_n = a_0\,n^2\). Este resultado muestra que las órbitas permitidas crecen con el cuadrado de \(n\), lo cual es esencial para entender las dimensiones relativas de los estados cuánticos del electrón.

Ejercicio Resuelto: Energía y Frecuencia de la Radiación Emitida

Enunciado:
Un electrón en un átomo de hidrógeno salta del nivel \( n_i = 3 \) al nivel \( n_f = 2 \). Se pide:

1. Calcular la diferencia de energía \(\Delta E\) asociada a la transición.
2. Determinar la frecuencia \(\nu\) del fotón emitido.

Paso 1: Cálculo de \(\Delta E\)

Usamos la fórmula:

\[ E_n = - \frac{13.6\,\text{eV}}{n^2}. \]

Entonces:

\[ E_{3} = - \frac{13.6}{3^2} = - \frac{13.6}{9} \approx -1.51\,\text{eV}, \] \[ E_{2} = - \frac{13.6}{2^2} = - \frac{13.6}{4} = -3.40\,\text{eV}. \]

La variación de energía en la transición \(3 \to 2\) es:

\[ \Delta E = E_{3} - E_{2} = \bigl(-1.51\,\text{eV}\bigr) - \bigl(-3.40\,\text{eV}\bigr) = 1.89\,\text{eV}. \]

Esta energía se libera en forma de fotón.

Paso 2: Determinación de la Frecuencia \(\nu\)

Recordando que \(\Delta E = h\,\nu\), y que \(\displaystyle 1\,\text{eV} \approx 1.602 \times 10^{-19} \,\text{J}\), convertimos \(\Delta E\) a julios:

\[ \Delta E = 1.89\,\text{eV} \times 1.602 \times 10^{-19}\,\text{J/eV} = 3.03 \times 10^{-19}\,\text{J}. \]

La constante de Planck es \(\displaystyle h = 6.626 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}\). Entonces:

\[ \nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{3.03 \times 10^{-19}} {6.626 \times 10^{-34}} \approx 4.57 \times 10^{14}\,\text{Hz}. \]

Esta es la frecuencia del fotón emitido al pasar el electrón de \(n=3\) a \(n=2\).

Resultados del Ejercicio

1. \(\Delta E\): \(1.89\,\text{eV}\approx 3.03\times10^{-19}\,\text{J}\).
2. Frecuencia: \(\nu \approx 4.57\times10^{14}\,\text{Hz}\).

Con ello, comprendemos cómo el Modelo de Bohr describe cuantitativamente las transiciones del electrón en el átomo de hidrógeno, relacionando la diferencia de energías con la frecuencia de la radiación emitida.