El Problema de 2 Objetos Unidos por Una Varilla

Problema:

Dos objetos A y B están conectados por una barra rígida de longitud \( L \). Si A se desliza hacia la izquierda a \( 2 \, \text{m/s} \), ¿cuál es la velocidad de B cuando \( \theta = 60^\circ \)?

Solución paso a paso:

1. Configuración geométrica:

Definimos coordenadas:

• Posición de \( A \): \( (x, 0) \)
• Posición de \( B \): \( (0, y) \)

Por el teorema de Pitágoras:

\[ x^2 + y^2 = L^2 \quad (1) \]

2. Derivación implícita:

Derivamos ambos lados de (1) respecto al tiempo (\( t \)):

\[ 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0 \]

Simplificando:

\[ x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0 \quad (2) \]

3. Datos conocidos:

• \( \frac{dx}{dt} = -2 \, \text{m/s} \) (velocidad hacia la izquierda)
• \( \theta = 60^\circ \)

4. Relación trigonométrica:

Cuando \( \theta = 60^\circ \):

\[ \tan(60^\circ) = \frac{y}{x} = \sqrt{3} \implies y = x\sqrt{3} \quad (3) \]

5. Sustitución en (2):

Usando (3) en (2):

\[ x(-2) + (x\sqrt{3})\frac{dy}{dt} = 0 \] \[ -2x + x\sqrt{3} \cdot \frac{dy}{dt} = 0 \]

Despejando \( \frac{dy}{dt} \):

\[ \frac{dy}{dt} = \frac{2x}{x\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \, \text{m/s} \]

Respuesta final:
\[ \boxed{\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \, \text{m/s}} \]

Nota: La velocidad es positiva porque \( B \) se mueve hacia arriba en el riel vertical.