Movimiento de una Partícula en el Plano Dado Vector Posición

📚 Enunciado del Problema

El vector de posición de una partícula varía en el tiempo según:

\[ \mathbf{r}(t) = \left(3.00t^2 \, \mathbf{\hat{i}} - 6.00t^2 \, \mathbf{\hat{j}}\right) \, \text{m} \]

Se pide:

1. Expresiones para la velocidad y aceleración como funciones del tiempo.
2. Posición y velocidad de la partícula en \( t = 1.00 \, \text{s} \).

🔍 Solución Paso a Paso

1. Cálculo de la Velocidad y Aceleración

Velocidad (\(\mathbf{v}(t)\)):

\[ \mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(3.00t^2\right)\mathbf{\hat{i}} - \frac{d}{dt}\left(6.00t^2\right)\mathbf{\hat{j}} \] \[ = \boxed{6.00t \, \mathbf{\hat{i}} - 12.00t \, \mathbf{\hat{j}} \, \text{m/s}} \]

Aceleración (\(\mathbf{a}(t)\)):

\[ \mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(6.00t\right)\mathbf{\hat{i}} - \frac{d}{dt}\left(12.00t\right)\mathbf{\hat{j}} \] \[ = \boxed{6.00 \, \mathbf{\hat{i}} - 12.00 \, \mathbf{\hat{j}} \, \text{m/s}^2} \]

2. Evaluación en \( t = 1.00 \, \text{s} \)

Posición (\(\mathbf{r}(1.00)\)):

\[ \mathbf{r}(1.00) = 3.00(1.00)^2 \, \mathbf{\hat{i}} - 6.00(1.00)^2 \, \mathbf{\hat{j}} \] \[ = \boxed{3.00 \, \mathbf{\hat{i}} - 6.00 \, \mathbf{\hat{j}} \, \text{m}} \]

Velocidad (\(\mathbf{v}(1.00)\)):

\[ \mathbf{v}(1.00) = 6.00(1.00) \, \mathbf{\hat{i}} - 12.00(1.00) \, \mathbf{\hat{j}} \] \[ = \boxed{6.00 \, \mathbf{\hat{i}} - 12.00 \, \mathbf{\hat{j}} \, \text{m/s}} \]