Onda que se Propaga por una Cuerda

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Ejercicio Resuelto: Parámetros de una Onda en una Cuerda

La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda es: \[ y(x,t) = 0.20 \cos\bigl(0.60\,t \;-\; 0.10\,x\bigr), \] donde \(y\) se mide en metros, \(t\) en segundos y \(x\) en metros (SI).

Se pide calcular:

  1. La frecuencia de la onda.
  2. La longitud de onda.
  3. La velocidad de propagación.

Solución Detallada

Paso 1: Interpretación de la forma de onda

En la ecuación \(\displaystyle y(x,t) = A\,\cos(\omega\,t \;-\; k\,x)\), identificamos:

  • Amplitud: \( A = 0.20 \,\text{m}\).
  • Frecuencia angular: \(\omega = 0.60 \,\text{rad/s}\).
  • Número de onda: \( k = 0.10 \,\text{rad/m}\).

A partir de \(\omega\) y \(k\) determinaremos la frecuencia \(f\), la longitud de onda \(\lambda\) y la velocidad de propagación \(v\).

Paso 2: Frecuencia de la onda

La relación entre la frecuencia angular \(\omega\) y la frecuencia \(f\) es:

\[ \omega = 2\pi\,f \quad\Longrightarrow\quad f = \frac{\omega}{2\pi}. \]

Sustituyendo \(\omega = 0.60\ \text{rad/s}\):

\[ f = \frac{0.60}{2\pi} \approx \frac{0.60}{6.283} \approx 0.0955 \,\text{Hz}. \]

Paso 3: Longitud de onda (\(\lambda\))

El número de onda \(k\) se relaciona con la longitud de onda \(\lambda\) por:

\[ k = \frac{2\pi}{\lambda} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{2\pi}{k}. \]

Dado \( k = 0.10\ \text{rad/m} \):

\[ \lambda = \frac{2\pi}{0.10} = 62.83 \,\text{m}. \]

Paso 4: Velocidad de propagación

Podemos obtener la velocidad de la onda como:

\[ v = \frac{\omega}{k} \quad\text{o equivalentemente}\quad v = \lambda \, f. \]

Con \(\omega=0.60\) y \(k=0.10\):

\[ v = \frac{0.60}{0.10} = 6.0 \,\text{m/s}. \]

(También, \(v = 62.83\,\text{m}\times 0.0955\,\text{Hz}\approx 6.0\,\text{m/s}\).)

Resultados Finales

  1. Frecuencia: \( f \approx 0.0955 \,\text{Hz}\).
  2. Longitud de onda: \(\lambda \approx 62.83 \,\text{m}\).
  3. Velocidad de propagación: \( v = 6.0 \,\text{m/s}\).

Así, la onda viaja hacia la +x (ya que el argumento es \(\omega t - k x\)) con una velocidad de 6 m/s.

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