Péndulo Simple

Ejercicio Resuelto: Péndulo Simple

Una masa de 5 kg cuelga de un hilo de 1 m de longitud. Se desplaza hasta que el hilo forma un ángulo de 10° con la vertical y se suelta para que empiece a oscilar.

Se pide calcular:

1. ¿Lo hará con movimiento armónico simple?
2. En caso afirmativo, ¿con qué período oscilará?
3. ¿Cuál es la velocidad máxima?
4. ¿Cuánto vale la frecuencia angular?
5. ¿Cuánto vale la aceleración máxima?
6. ¿Con qué energía mecánica oscila?
7. Escribe la ecuación de este movimiento.

Solución Detallada

Paso 1: Datos del péndulo y aproximación de ángulos pequeños

• Masa: \( m = 5\,\text{kg} \)
• Longitud del hilo: \( L = 1\,\text{m} \)
• Ángulo máximo: \( \theta_{\max} = 10^\circ \)
• Gravedad: \( g = 9.81\,\text{m/s}^2 \)

Como el ángulo es pequeño (\( \theta_{\max} < 15^\circ \)), el péndulo se mueve con movimiento armónico simple (MAS) (aproximación: \(\sin\theta \approx \theta\) en radianes).

Paso 2: Período de oscilación

El período de un péndulo simple viene dado por:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}. \]

Sustituyendo \( L = 1 \,\text{m} \) y \( g = 9.81 \,\text{m/s}^2 \):

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{9.81}} = 2\pi \times 0.319 \approx 2.01 \,\text{s}. \]

Paso 3: Frecuencia angular

La frecuencia angular se calcula como:

\[ \omega = \frac{2\pi}{T}. \]

Con \( T \approx 2.01 \,\text{s} \):

\[ \omega \approx \frac{2\pi}{2.01} \approx 3.13 \,\text{rad/s}. \]

Paso 4: Velocidad máxima

La velocidad máxima ocurre al pasar por la posición de equilibrio (ángulo \(\theta = 0\)). En la aproximación de ángulos pequeños:

\[ v_{\max} = \omega \, L \, \theta_{\max}. \]

Convirtiendo \( 10^\circ \) a radianes: \(\displaystyle 10^\circ = \frac{10\pi}{180} \approx 0.1745\).

\[ v_{\max} = 3.13 \times 1.0 \times 0.1745 \approx 0.55 \,\text{m/s}. \]

Paso 5: Aceleración máxima

La aceleración máxima se produce en los extremos (\(\theta = \pm\,\theta_{\max}\)), donde la velocidad es nula:

\[ a_{\max} = \omega^2 \, L \, \theta_{\max}. \]

\[ a_{\max} = (3.13)^2 \times (1.0) \times 0.1745 \approx 1.72 \,\text{m/s}^2. \]

Paso 6: Energía mecánica total

La energía mecánica se asume conservada (sin rozamiento). Corresponde a la energía potencial inicial a la altura máxima (desviación de 10°):

\[ E = m g h, \]

donde \(\displaystyle h \approx L \bigl(1 - \cos(\theta_{\max})\bigr)\).

\[ h = 1.0 \times \bigl(1 - \cos 10^\circ\bigr) = 0.0152 \,\text{m}. \]

Así, la energía mecánica total es:

\[ E = 5 \,\text{kg} \times 9.81 \,\text{m/s}^2 \times 0.0152 \,\text{m} \approx 0.745 \,\text{J}. \]

Paso 7: Ecuación del movimiento

En la aproximación de ángulos pequeños, \(\theta(t)\approx \theta_{\max}\cos(\omega t)\). Con \(\theta_{\max} \approx 0.1745\,\text{rad}\) y \(\omega=3.13\):

\[ \theta(t) = 0.1745 \,\cos(3.13\,t). \]

Resultados Finales

1. Movimiento armónico simple: Sí, por \(\theta_{\max}=10^\circ\).
2. Período de oscilación: \(\displaystyle T \approx 2.01\,\text{s}\).
3. Velocidad máxima: \(\displaystyle v_{\max}\approx 0.55\,\text{m/s}\).
4. Frecuencia angular: \(\displaystyle \omega \approx 3.13\,\text{rad/s}\).
5. Aceleración máxima: \(\displaystyle a_{\max}\approx1.72\,\text{m/s}^2\).
6. Energía mecánica: \(\displaystyle E\approx0.745\,\text{J}\).
7. Ecuación del movimiento: \(\theta(t)=0.1745\cos(3.13\,t)\).