Problema de Ruedas Conectadas por una Correa

Enunciado del Problema

La rueda \( A \), de radio \( 30 \, \text{cm} \), parte del reposo y acelera con \( 0.4\pi \, \text{rad/s}^2 \). Transmite su movimiento a la rueda \( B \) (\( r_B = 12 \, \text{cm} \)) mediante una correa. Determinar:

1. Relación entre las aceleraciones angulares de \( A \) y \( B \).
2. Tiempo para que \( B \) alcance \( 300 \, \text{rpm} \).

Solución Detallada

1. Relación entre aceleraciones angulares

Las ruedas comparten la misma aceleración tangencial por estar unidas por una correa:

\[ \LARGE a_A = a_B \implies \alpha_A \cdot r_A = \alpha_B \cdot r_B \]

Despejando la relación:

\[ \LARGE \frac{\alpha_A}{\alpha_B} = \frac{r_B}{r_A} \]

Sustituyendo valores (\( r_A = 0.3 \, \text{m} \), \( r_B = 0.12 \, \text{m} \)):

\[ \LARGE \frac{\alpha_A}{\alpha_B} = \frac{0.12}{0.3} = \boxed{0.4} \]

2. Tiempo para alcanzar \( 300 \, \text{rpm} \)

Paso 1: Convertir \( 300 \, \text{rpm} \) a rad/s:

\[ \LARGE \omega_B = \frac{300 \times 2\pi}{60} = 10\pi \, \text{rad/s} \]

Paso 2: Calcular la aceleración angular de \( B \):

\[ \LARGE \alpha_B = \alpha_A \cdot \frac{r_A}{r_B} = 0.4\pi \cdot \frac{0.3}{0.12} = \pi \, \text{rad/s}^2 \]

Paso 3: Usar la ecuación de movimiento angular para hallar el tiempo:

\[ \LARGE \omega_B = \alpha_B \cdot t \implies t = \frac{\omega_B}{\alpha_B} \]

\[ \LARGE t = \frac{10\pi}{\pi} = \boxed{10 \, \text{segundos}} \]

Conclusión

La relación entre aceleraciones angulares es inversamente proporcional a la relación de radios. Con los datos dados, la rueda \( B \) alcanza \( 300 \, \text{rpm} \) en \( 10 \, \text{s} \).