Problema de Tiro Parabólico

📌 Enunciado del Problema

Un cañón dispara una bala con velocidad inicial de \( 200 \, \text{m/s} \) formando un ángulo de \( 40^\circ \) con el suelo. Determinar:

1. Velocidad y posición de la bala después de \( 20 \, \text{s} \).
2. Alcance máximo y tiempo total de vuelo.

🔍 Solución Detallada

1. Descomposición de la velocidad inicial

Componentes horizontal (\( v_{0x} \)) y vertical (\( v_{0y} \)):

\[ v_{0x} = 200 \cdot \cos(40^\circ) \approx 153.2 \, \text{m/s} \] \[ v_{0y} = 200 \cdot \sin(40^\circ) \approx 128.6 \, \text{m/s} \]

2. Velocidad a los 20 segundos

Componentes:

\[ v_x = v_{0x} = 153.2 \, \text{m/s} \quad (\text{constante}) \] \[ v_y = v_{0y} - g \cdot t = 128.6 - 9.8 \cdot 20 \approx -68.6 \, \text{m/s} \]

Magnitud y dirección:

\[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \approx \sqrt{153.2^2 + (-68.6)^2} \approx 167.3 \, \text{m/s} \] \[ \theta = \arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right) \approx -24.1^\circ \, (\text{por debajo de la horizontal}) \]

3. Posición a los 20 segundos

\[ x = v_{0x} \cdot t = 153.2 \cdot 20 = 3064 \, \text{m} \] \[ y = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = 128.6 \cdot 20 - 4.9 \cdot 20^2 \approx 592 \, \text{m} \]

4. Tiempo total de vuelo

\[ t_{\text{vuelo}} = \frac{2 \cdot v_{0y}}{g} = \frac{2 \cdot 128.6}{9.8} \approx 26.2 \, \text{s} \]

5. Alcance máximo

\[ R = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2\theta)}{g} = \frac{200^2 \cdot \sin(80^\circ)}{9.8} \approx 3952 \, \text{m} \]

📝 Respuestas Finales

Velocidad a los 20 s: \( \boxed{167.3 \, \text{m/s} \, \text{a} \, 24.1^\circ \, \text{debajo de la horizontal}} \)

Posición a los 20 s: \( \boxed{(3064 \, \text{m}, \, 592 \, \text{m})} \)

Alcance máximo: \( \boxed{3952 \, \text{m}} \)

Tiempo de vuelo: \( \boxed{26.2 \, \text{s}} \)