Velocidad y Aceleración en Movimiento Armónico Simple

Ejercicio Resuelto: Velocidad y Aceleración en Movimiento Armónico Simple

Un oscilador tiene una amplitud de 10 cm y alcanza una velocidad máxima de 10 m/s. Se pregunta:

1. ¿Cuánto vale la aceleración máxima del oscilador?
2. ¿Qué velocidad y qué aceleración presenta el oscilador cuando se encuentra a 2 cm de su posición de equilibrio?

Solución Detallada

Paso 1: Datos y fórmulas del MAS

• Amplitud: \( A = 10 \,\text{cm} = 0.10 \,\text{m} \)
• Velocidad máxima: \( v_{\max} = 10 \,\text{m/s} \)
• En un movimiento armónico simple (MAS), se cumplen:
  • \( v_{\max} = \omega \, A \)
  • \( a_{\max} = \omega^2 \, A \)
  • \( \omega \) es la frecuencia angular
  • \( v(x) = \pm \omega \,\sqrt{A^2 - x^2} \) en cualquier instante (con \(x\) medido desde el equilibrio)
  • \( a(x) = - \omega^2 \, x \)

Paso 2: Calcular la frecuencia angular \(\omega\)

De la relación \(\displaystyle v_{\max} = \omega \, A\), se obtiene:

\[ \omega = \frac{v_{\max}}{A} = \frac{10 \,\text{m/s}}{0.10 \,\text{m}} = 100 \,\text{rad/s}. \]

Paso 3: Aceleración máxima

La aceleración máxima (en valor absoluto) para un MAS es:

\[ a_{\max} = \omega^2 \, A = (100)^2 \,\times 0.10 = 1000 \,\text{m/s}^2. \]

Así, la aceleración máxima del oscilador es 1000 m/s².

Paso 4: Velocidad y aceleración a x = 2 cm

Cuando la partícula está a \(\displaystyle x = 2 \,\text{cm} = 0.02 \,\text{m}\) de la posición de equilibrio, aplicamos las fórmulas:

• Velocidad en función de \(x\): \[ v = \pm \omega \,\sqrt{A^2 - x^2}. \] Dado que \(\omega = 100\) y \(A=0.10\) m:

\[ v = \pm 100 \,\sqrt{(0.10)^2 - (0.02)^2} = \pm 9.8 \,\text{m/s}. \]

El signo depende de si la partícula se desplaza hacia la derecha (\(+\)) o hacia la izquierda \((-)\). La magnitud de la velocidad es \(9.8\) m/s.

• Aceleración en función de \(x\): \[ a = -\,\omega^2 \, x. \] Numéricamente:

\[ a = - (100)^2 \,\times 0.02 = -10000 \,\times 0.02 = -200 \,\text{m/s}^2. \]

El signo negativo indica que la aceleración va dirigida hacia la posición de equilibrio (opuesta a la elongación positiva de 2 cm). Su magnitud es \(200\) m/s².

Resultados Finales

1. Aceleración máxima: \(\displaystyle a_{\max} = 1000 \,\text{m/s}^2.\)
2. Velocidad en \(x=2\) cm: \(\displaystyle |v| = 9.8 \,\text{m/s}\).
3. Aceleración en \(x=2\) cm: \(\displaystyle a = -200 \,\text{m/s}^2\) (en dirección opuesta a la elongación positiva).

Así comprobamos que en un MAS, la velocidad depende de la posición instantánea, y la aceleración es máxima en los extremos (donde \(|x|=A\)) y mínima (cero) en la posición de equilibrio.