Problema:
Se dispone de una cuerda con:
- Masa total: \( m = 90\,\text{kg} \).
- Longitud total: \( L = 30\,\text{m} \).
La cuerda cuelga verticalmente desde la parte superior de un edificio. Utilizando \( g = 9.8\,\text{m/s}^2 \):
- Calcular el trabajo necesario para levantar toda la cuerda hasta el nivel superior del edificio.
- Calcular el trabajo necesario para izar únicamente los últimos 6 m de la cuerda.
Solución
1. Datos y Modelo Físico
- Masa total: \( m = 90\,\text{kg} \).
- Longitud total: \( L = 30\,\text{m} \).
- Se define la densidad lineal de masa: \[ \lambda_m = \frac{m}{L} = \frac{90\,\text{kg}}{30\,\text{m}} = 3\,\text{kg/m}. \]
- La densidad lineal de peso es: \[ \lambda_F = \lambda_m \times g = 3\,\text{kg/m} \times 9.8\,\text{m/s}^2 = 29.4\,\text{N/m}. \]
- Usamos un eje vertical \( x \) medido desde el nivel superior (donde se izará la cuerda) hasta el extremo inferior, de modo que la cuerda se extiende de \( x=0 \) a \( x=30\,\text{m} \).
2. Trabajo para Levantar Toda la Cuerda
Para un segmento diferencial \( \mathrm{d}x \) a una posición \( x \), el peso es \( \lambda_F\,\mathrm{d}x \) y debe elevarse \( x \) metros. El trabajo diferencial es:
$$ \mathrm{d}W = \lambda_F\,x\,\mathrm{d}x. $$Integrando desde \( x=0 \) hasta \( x=30 \):
$$ W_{\text{total}} = \int_{0}^{30} \lambda_F\,x\,\mathrm{d}x = 29.4 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{30} = 29.4 \times \frac{(30)^2}{2}. $$Calculamos:
- \( (30)^2 = 900 \),
- \( \frac{900}{2} = 450 \),
- \( 29.4 \times 450 = 13\,230\,\text{J} \) (aproximadamente).
Por lo tanto, se requiere un trabajo de 13 230 J para levantar toda la cuerda.
3. Trabajo para Izar Solo los Últimos 6 m
Los últimos 6 m corresponden al tramo de \( x=24 \) a \( x=30\,\text{m} \). La distancia que debe elevarse un punto a la posición \( x \) en este tramo es \( x - 24 \) (para que termine en \( x=24\,\text{m} \)).
El trabajo diferencial es:
$$ \mathrm{d}W = \lambda_F \,(x - 24)\,\mathrm{d}x. $$Integrando de \( x=24 \) a \( x=30 \):
$$ W_{6} = \int_{24}^{30} \lambda_F\,(x - 24)\,\mathrm{d}x = 29.4 \int_{24}^{30} (x - 24)\,\mathrm{d}x. $$Haciendo el cambio de variable \( u = x - 24 \) (con \( u=0 \) cuando \( x=24 \) y \( u=6 \) cuando \( x=30 \)):
$$ W_{6} = 29.4 \int_{0}^{6} u\,\mathrm{d}u = 29.4 \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^{6}. $$Calculamos:
- \( (6)^2 = 36 \),
- \( \frac{36}{2} = 18 \),
- \( 29.4 \times 18 = 529.2\,\text{J} \) (aproximadamente).
Por lo tanto, se requieren aproximadamente 529 J para izar los últimos 6 m de la cuerda.
Conclusiones
- Levantar toda la cuerda (30 m, 90 kg) requiere 13 230 J.
- Izar únicamente los últimos 6 m requiere aproximadamente 529 J.
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