Problema:
Un tanque tiene forma de cono circular invertido con altura de 10 m y radio de base de 4 m. Está lleno de agua hasta 8 m de altura (contados desde la punta). Se desea bombear toda el agua hasta la parte superior del tanque (borde a 10 m). Calcular el trabajo necesario para vaciarlo por completo.
Solución
Datos y consideraciones:
Altura total del cono: $H = 10$ m. Radio de la base: $R = 4$ m. La densidad del agua es $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$ y la gravedad $g = 9.8 \text{ m/s}^2$. El agua ocupa $0 \leq y \leq 8$ (desde la punta, $y=0$, hasta 8 m de altura). Se bombea hasta $y=10$.
1. Radio a altura $y$
Dado que el cono va de radio 0 en $y=0$ hasta radio $R=4$ en $y=10$, la relación lineal es $$ \frac{r(y)}{y} = \frac{4}{10} \implies r(y) = 0.4\, y. $$
2. Área de sección y volumen de rebanada
Un corte horizontal a altura $y$ tiene radio $r(y)=0.4y$. El área es $A(y) = \pi [r(y)]^2 = \pi \,(0.4y)^2 = 0.16\pi\,y^2.$ El volumen de la rebanada de espesor $\mathrm{d}y$ es $$\mathrm{d}V = A(y)\,\mathrm{d}y = 0.16\,\pi\,y^2\,\mathrm{d}y.$$
3. Masa y peso de la rebanada
La masa de esa rebanada es $\mathrm{d}m = \rho\, \mathrm{d}V = 1000 \times 0.16\pi\,y^2 \,\mathrm{d}y = 160\pi\,y^2\,\mathrm{d}y.$ El peso (fuerza) es $\mathrm{d}F = g\,\mathrm{d}m = 9.8 \times 160\pi\, y^2\,\mathrm{d}y = 1568\pi\,y^2\,\mathrm{d}y.$
4. Distancia a bombear
Para subir el agua a $y=10$, cada capa a altura $y$ se eleva $10 - y$.
5. Trabajo diferencial
El trabajo para esa rebanada es $$ \mathrm{d}W = \mathrm{d}F \times (10 - y) = 1568\pi\,y^2\,(10-y)\,\mathrm{d}y. $$
6. Integral del trabajo total
Se integra desde $y=0$ hasta $y=8$: $$ W = \int_{0}^{8} 1568\pi\,y^2\,(10 - y)\,\mathrm{d}y = 1568\pi \int_{0}^{8} (10y^2 - y^3)\,\mathrm{d}y. $$
Calculamos la integral: $$ \int_{0}^{8} (10y^2 - y^3)\,\mathrm{d}y = \left[\frac{10y^3}{3} - \frac{y^4}{4}\right]_0^8. $$ En $y=8$: $\frac{10\,(8^3)}{3} = \frac{10 \cdot 512}{3} = \frac{5120}{3}, \quad \frac{(8)^4}{4} = \frac{4096}{4} = 1024.$ Entonces $$ \left(\frac{5120}{3} - 1024\right) = \frac{5120}{3} - \frac{3072}{3} = \frac{2048}{3}. $$ Por lo tanto, $$ \int_{0}^{8} (10y^2 - y^3)\,\mathrm{d}y = \frac{2048}{3}. $$ Así, $$ W = 1568\pi \times \frac{2048}{3} = 1568 \times \frac{2048}{3} \,\pi. $$
7. Aproximación numérica
$1568 \times 2048 = 3,211,264.$ Dividido entre 3 es $1,070,421.33.$ Multiplicado por $\pi \approx 3.14159$ da aproximadamente $3,364,265 \text{ J}.$ Es decir, unos 3.36 $\times 10^6$ J o 3.36 MJ.
En conclusión, el trabajo requerido para bombear todo el agua (hasta los 8 m de llenado) hasta la parte superior del tanque (10 m) es aproximadamente 3.36 $\times 10^6$ Joules.
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