Enunciado
Dos coches de masas \(800\,\text{kg}\) y \(600\,\text{kg}\) se mueven en direcciones perpendiculares.
El primero lleva una velocidad de \(36\,\text{km/h}\) y el segundo, de \(18\,\text{km/h}\).
Los coches chocan de manera totalmente inelástica.
Calcula:
a) Las componentes del vector cantidad de movimiento antes y después del choque.
b) El vector velocidad del conjunto de los coches tras el choque.
a) Las componentes del vector cantidad de movimiento antes y después del choque.
b) El vector velocidad del conjunto de los coches tras el choque.
Planteamiento
Elegimos un sistema de ejes muy natural:
Eje \(x\): dirección inicial del coche de \(800\,\text{kg}\).
Eje \(y\): dirección inicial del coche de \(600\,\text{kg}\).
Eje \(y\): dirección inicial del coche de \(600\,\text{kg}\).
Convertimos primero las velocidades a unidades del Sistema Internacional:
\[
36\,\text{km/h}=10\,\text{m/s}
\]
\[
18\,\text{km/h}=5\,\text{m/s}
\]
Por tanto:
\[
m_1=800\,\text{kg},\qquad v_1=10\,\text{m/s}
\]
\[
m_2=600\,\text{kg},\qquad v_2=5\,\text{m/s}
\]
a) Componentes del vector cantidad de movimiento antes y después del choque
La cantidad de movimiento del primer coche es:
\[
\vec p_1 = m_1 \vec v_1
\]
\[
\vec p_1 = (800\cdot 10,\;0)
\]
\[
\vec p_1 = (8000,\;0)\,\text{kg·m/s}
\]
La cantidad de movimiento del segundo coche es:
\[
\vec p_2 = m_2 \vec v_2
\]
\[
\vec p_2 = (0,\;600\cdot 5)
\]
\[
\vec p_2 = (0,\;3000)\,\text{kg·m/s}
\]
La cantidad de movimiento total antes del choque es la suma vectorial:
\[
\vec p_{\text{antes}}=\vec p_1+\vec p_2
\]
\[
\vec p_{\text{antes}}=(8000,\;3000)\,\text{kg·m/s}
\]
Como durante el choque la cantidad de movimiento total se conserva, después del choque se cumple:
\[
\vec p_{\text{después}}=\vec p_{\text{antes}}
\]
\[
\vec p_{\text{después}}=(8000,\;3000)\,\text{kg·m/s}
\]
Por tanto, las componentes del vector cantidad de movimiento son:
\[
\vec p_{\text{antes}}=(8000,\;3000)\,\text{kg·m/s}
\]
\[
\vec p_{\text{después}}=(8000,\;3000)\,\text{kg·m/s}
\]
b) Vector velocidad del conjunto tras el choque
Como el choque es totalmente inelástico, los dos coches quedan unidos y se mueven con una sola velocidad final \(\vec v_f\).
La masa total del conjunto es:
\[
m_1+m_2=800+600=1400\,\text{kg}
\]
\[
\vec p_{\text{después}}=(m_1+m_2)\vec v_f
\]
Sustituimos:
\[
(8000,\;3000)=1400\,\vec v_f
\]
Luego:
\[
\vec v_f=\left(\frac{8000}{1400},\;\frac{3000}{1400}\right)
\]
\[
\vec v_f=\left(\frac{40}{7},\;\frac{15}{7}\right)\,\text{m/s}
\]
En forma decimal:
\[
\vec v_f=(5.71,\;2.14)\,\text{m/s}
\]
Si quieres escribirla con vectores unitarios:
\[
\vec v_f=\frac{40}{7}\,\hat{\imath}+\frac{15}{7}\,\hat{\jmath}\;\text{m/s}
\]
Respuesta final:
\[
\vec p_{\text{antes}}=(8000,\;3000)\,\text{kg·m/s}
\]
\[
\vec p_{\text{después}}=(8000,\;3000)\,\text{kg·m/s}
\]
\[
\vec v_f=\left(\frac{40}{7},\;\frac{15}{7}\right)\,\text{m/s}
\]
\[
\vec v_f=(5.71,\;2.14)\,\text{m/s}
\]
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