¿Por qué el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria es positivo cuando un cuerpo cae desde cierta altura?
Matemáticas con Juan
1. Idea física fundamental
Cuando un cuerpo cae, su movimiento es hacia abajo. La fuerza de la gravedad también apunta hacia abajo.
Es decir:
- la fuerza gravitatoria apunta hacia abajo,
- el desplazamiento del cuerpo también es hacia abajo.
2. Fórmula general del trabajo
El trabajo realizado por una fuerza constante se calcula mediante el producto escalar:
\( W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} \)
También puede escribirse como:
\( W = F \, \Delta r \cos\theta \)
donde:
- \(F\) es el módulo de la fuerza,
- \(\Delta r\) es el módulo del desplazamiento,
- \(\theta\) es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento.
3. ¿Qué ángulo hay cuando el cuerpo cae?
Cuando el cuerpo cae:
- la gravedad apunta hacia abajo,
- el desplazamiento también es hacia abajo.
Por tanto, el ángulo entre ambos vectores es:
\( \theta = 0^\circ \)
Y como:
\( \cos 0^\circ = 1 \)
resulta que:
\( W = F \, \Delta r \)
Es decir, el trabajo es positivo.
4. Explicación vectorial detallada
Vamos a verlo ahora con vectores.
Si elegimos el eje vertical \(y\) positivo hacia arriba, entonces la fuerza gravitatoria es:
\( \vec{F}_g = -mg\,\hat{\jmath} \)
porque apunta hacia abajo.
Si el cuerpo cae una distancia vertical \(\Delta y\), entonces su desplazamiento también va hacia abajo:
\( \Delta \vec{r} = -\Delta y\,\hat{\jmath} \)
Sustituimos en la fórmula del trabajo:
\( W_g = \vec{F}_g \cdot \Delta \vec{r} \)
\( W_g = (-mg\,\hat{\jmath}) \cdot (-\Delta y\,\hat{\jmath}) \)
Ahora usamos dos ideas:
\( (-)(-) = (+) \qquad \text{y} \qquad \hat{\jmath}\cdot\hat{\jmath}=1 \)
Entonces:
\( W_g = mg\,\Delta y \)
Como \(m>0\), \(g>0\) y \(\Delta y>0\), se concluye que:
\( W_g > 0 \)
5. Interpretación energética
Hay otra forma muy importante de entenderlo.
Cuando un cuerpo cae, su velocidad suele aumentar. Eso significa que su energía cinética aumenta. ¿Quién le está entregando esa energía? La gravedad.
Por eso decimos que la gravedad realiza un trabajo positivo: porque está transfiriendo energía al cuerpo.
Además, la energía potencial gravitatoria disminuye mientras el cuerpo cae. Recordemos que:
\( E_p = mgh \)
Si el cuerpo pasa de una altura inicial \(h_i\) a una altura final \(h_f\), entonces:
\( \Delta E_p = E_{p,f} - E_{p,i} = mgh_f - mgh_i \)
\( \Delta E_p = mg(h_f - h_i) \)
Como al caer se cumple que \(h_f < h_i\), entonces:
\( h_f - h_i < 0 \)
y por tanto:
\( \Delta E_p < 0 \)
Es decir, la energía potencial disminuye.
Sabemos que el trabajo de la fuerza gravitatoria es:
\( W_g = -\Delta E_p \)
Y como \(\Delta E_p\) es negativa, se obtiene:
\( W_g > 0 \)
6. Ejemplo sencillo
Supongamos que un cuerpo de masa \(m\) cae desde \(15\,\text{m}\) hasta \(2\,\text{m}\).
La distancia vertical recorrida es:
\( 15 - 2 = 13\,\text{m} \)
Por tanto, el trabajo de la gravedad es:
\( W_g = mg(15-2) \)
\( W_g = 13mg \)
Si, por ejemplo, \(m=1\,\text{kg}\) y tomamos \(g=9.8\,\text{m/s}^2\), entonces:
\( W_g = 1 \cdot 9.8 \cdot 13 \)
\( W_g = 127.4\,\text{J} \)
Observamos que el resultado es positivo.
7. Conclusión final
Podemos resumir toda la idea así:
- cuando un cuerpo cae, su desplazamiento es hacia abajo,
- la fuerza gravitatoria también apunta hacia abajo,
- el ángulo entre fuerza y desplazamiento es \(0^\circ\),
- por ello, el trabajo de la gravedad es positivo.
En lenguaje físico, esto significa que la gravedad favorece el movimiento de caída y le entrega energía al cuerpo.
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