Trabajo de un muelle
- el trabajo realizado por el muelle al pasar desde \(x_1=-5\,\text{cm}\) hasta \(x_2=0\),
- la velocidad del bloque al pasar por \(x_2=0\).
1. Datos del problema
Pasamos la posición inicial a metros:
\[ x_1=-5\,\text{cm}=-0.05\,\text{m}, \qquad x_2=0. \]Además, tenemos:
\[ m=4\,\text{kg}, \qquad k=400\,\text{N/m}. \]La fuerza del muelle viene dada por:
\[ \vec{F}=-kx\,\hat{\imath}. \]Como el muelle está comprimido, el bloque está a la izquierda de la posición de equilibrio, es decir, \(x<0\). En esa situación, la fuerza del muelle apunta hacia la derecha.
2. Trabajo realizado por el muelle
La expresión general del trabajo es:
\[ W=\int_{x_1}^{x_2}\vec{F}\cdot d\vec{r}. \]Como el movimiento es horizontal, el desplazamiento infinitesimal es:
\[ d\vec{r}=dx\,\hat{\imath}. \]Entonces:
\[ W=\int_{x_1}^{x_2}(-kx\,\hat{\imath})\cdot(dx\,\hat{\imath}). \]Puesto que \(\hat{\imath}\cdot\hat{\imath}=1\), queda:
\[ W=\int_{x_1}^{x_2}(-kx)\,dx. \]Sustituyendo los datos:
\[ W=\int_{-0.05}^{0}(-400x)\,dx. \]Sacamos la constante:
\[ W=-400\int_{-0.05}^{0}x\,dx. \]Integramos:
\[ W=-400\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-0.05}^{0}. \]Evaluamos:
\[ W=-400\left(0-\frac{(0.05)^2}{2}\right). \]Como
\[ (0.05)^2=0.0025, \]obtenemos:
\[ W=-400\left(-\frac{0.0025}{2}\right) =-400(-0.00125) =0.5\,\text{J}. \]Por tanto, el trabajo realizado por el muelle es:
\[ \boxed{W=0.5\,\text{J}}. \]El resultado es positivo porque la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido: ambos apuntan hacia la derecha.
3. Velocidad del bloque al pasar por \(x=0\)
Ahora aplicamos el teorema trabajo-energía:
\[ W=\Delta K. \]Como el bloque parte del reposo, su energía cinética inicial es cero. Entonces:
\[ 0.5=\frac{1}{2}mv^2. \]Sustituimos \(m=4\):
\[ 0.5=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot v^2=2v^2. \]Despejando:
\[ v^2=0.25. \]Por tanto:
\[ v=\pm 0.5\,\text{m/s}. \]Pero como el bloque se mueve hacia la derecha, la velocidad debe ser positiva:
\[ \boxed{v=+0.5\,\text{m/s}}. \]4. Conclusión
5. Ejercicio resuelto en formato vídeo
5. Comentario físico
Este problema es muy útil para entender varias ideas fundamentales de mecánica:
- La fuerza del muelle cumple la ley de Hooke: \(\vec{F}=-kx\,\hat{\imath}\).
- El signo menos indica que la fuerza siempre apunta hacia la posición de equilibrio.
- Si el muelle está comprimido, entonces \(x<0\), y la fuerza sale hacia la derecha.
- El trabajo del muelle es positivo porque empuja al bloque en el mismo sentido en que este se desplaza.
- Como no hay rozamiento, la energía potencial elástica se transforma en energía cinética.
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