Aceleración de la gravedad a 600 km de altura
Un problema de gravitación alrededor de nuestro planeta
Física con Juan
En esta clase vamos a calcular la aceleración de la gravedad a cierta altura sobre la superficie de la Tierra.
Tenemos un satélite que orbita alrededor de nuestro planeta a una altura de \(600\ \text{km}\), y queremos saber cuánto vale allí la aceleración de la gravedad.
La idea fundamental es que la gravedad disminuye con la distancia al centro de la Tierra. No depende solo de la altura sobre la superficie, sino de la distancia total al centro del planeta.
Un satélite orbita alrededor de la Tierra a una altura de:
\[ h=600\ \text{km} \]respecto a la superficie terrestre.
Sabemos que el radio de la Tierra es:
\[ R_T=6400\ \text{km} \]y que la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre es:
\[ g_0=9{,}8\ \text{m/s}^2 \]Calcula la aceleración de la gravedad a esa altura.
1. Gravedad en la superficie terrestre
En la superficie de la Tierra, la aceleración de la gravedad viene dada por:
\[ g_0=\frac{GM_T}{R_T^2} \]donde:
\[ G=\text{constante de gravitación universal} \] \[ M_T=\text{masa de la Tierra} \] \[ R_T=\text{radio de la Tierra} \]En este problema conocemos:
\[ g_0=9{,}8\ \text{m/s}^2 \]2. Gravedad a una altura \(h\)
Cuando el satélite está a una altura \(h\) sobre la superficie, su distancia al centro de la Tierra no es \(h\), sino:
\[ R_T+h \]Por tanto, la aceleración de la gravedad a esa altura es:
\[ g=\frac{GM_T}{(R_T+h)^2} \]Esta es la cantidad que queremos calcular.
3. Tenemos dos expresiones
Tenemos, por un lado, la gravedad en la superficie:
\[ g_0=\frac{GM_T}{R_T^2} \]y, por otro lado, la gravedad a la altura \(h\):
\[ g=\frac{GM_T}{(R_T+h)^2} \]El objetivo es eliminar la cantidad \(GM_T\), porque no necesitamos conocer por separado ni \(G\) ni la masa de la Tierra.
4. Dividimos las dos ecuaciones
Dividimos la segunda expresión entre la primera:
\[ \frac{g}{g_0} = \frac{\dfrac{GM_T}{(R_T+h)^2}}{\dfrac{GM_T}{R_T^2}} \]Dividir por una fracción equivale a multiplicar por su inversa:
\[ \frac{g}{g_0} = \frac{GM_T}{(R_T+h)^2} \cdot \frac{R_T^2}{GM_T} \]Ahora se simplifica \(GM_T\):
\[ \frac{g}{g_0} = \frac{R_T^2}{(R_T+h)^2} \]Por tanto:
\[ \frac{g}{g_0} = \left(\frac{R_T}{R_T+h}\right)^2 \]5. Despejamos \(g\)
Multiplicamos por \(g_0\):
\[ g = g_0\cdot \frac{R_T^2}{(R_T+h)^2} \]O, de forma equivalente:
\[ \boxed{ g = g_0\left(\frac{R_T}{R_T+h}\right)^2 } \]Esta fórmula nos permite calcular la gravedad a una altura \(h\) usando solamente el radio terrestre y la gravedad en la superficie.
6. Sustitución de datos
| Magnitud | Valor |
|---|---|
| Radio de la Tierra | \(R_T=6400\ \text{km}\) |
| Altura del satélite | \(h=600\ \text{km}\) |
| Distancia al centro de la Tierra | \(R_T+h=6400+600=7000\ \text{km}\) |
| Gravedad en superficie | \(g_0=9{,}8\ \text{m/s}^2\) |
Sustituimos en la fórmula:
\[ g = 9{,}8\left(\frac{6400}{7000}\right)^2 \]Calculamos primero la fracción:
\[ \frac{6400}{7000}=0{,}914285\ldots \]Ahora elevamos al cuadrado:
\[ \left(\frac{6400}{7000}\right)^2 \approx 0{,}8359 \]Multiplicamos por \(9{,}8\):
\[ g\approx 9{,}8\cdot 0{,}8359 \] \[ g\approx 8{,}19\ \text{m/s}^2 \]Respuesta final
La aceleración de la gravedad a \(600\ \text{km}\) sobre la superficie terrestre es aproximadamente:
\[ \boxed{ g\approx 8{,}19\ \text{m/s}^2 } \]Es menor que la gravedad en la superficie terrestre, porque el satélite está más lejos del centro de la Tierra.
Idea clave
La gravedad depende de la distancia al centro de la Tierra:
\[ g=\frac{GM_T}{r^2} \]En la superficie:
\[ r=R_T \]A una altura \(h\):
\[ r=R_T+h \]Por eso:
\[ \boxed{ g = g_0\left(\frac{R_T}{R_T+h}\right)^2 } \]La gravedad disminuye con la altura, pero a \(600\ \text{km}\) todavía sigue siendo bastante intensa.
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