Calcular la profundidad de un lago con la presión hidrostática
En este problema queremos averiguar la profundidad de un lago. El dato que conocemos es la presión hidrostática en el fondo del lago.
La situación es muy interesante: si sabemos qué presión ejerce el agua en el fondo, podemos usar la fórmula de la presión hidrostática para calcular cuánta profundidad tiene el lago.
Enunciado del problema
En el fondo de un lago, la presión hidrostática es:
$$ p=29400\ \text{Pa} $$Calcula la profundidad del lago sabiendo que el líquido es agua.
Usamos los siguientes datos:
- Densidad del agua: \(\rho=1000\ \text{kg/m}^3\).
- Aceleración de la gravedad: \(g=9{,}8\ \text{m/s}^2\).
- Presión hidrostática: \(p=29400\ \text{Pa}\).
La fórmula de la presión hidrostática
La presión hidrostática se calcula con:
$$ p=\rho gh $$Donde:
- \(p\) es la presión hidrostática.
- \(\rho\) es la densidad del líquido.
- \(g\) es la aceleración de la gravedad.
- \(h\) es la profundidad.
En este ejercicio, la incógnita es la profundidad \(h\).
Despejamos la profundidad
Partimos de la fórmula:
$$ p=\rho gh $$Queremos dejar \(h\) sola. Como \(\rho\) y \(g\) están multiplicando a \(h\), dividimos entre \(\rho g\):
$$ h=\frac{p}{\rho g} $$Sustituimos los datos
Ahora metemos los datos en la fórmula:
$$ h=\frac{29400}{1000\cdot 9{,}8} $$Calculamos primero el denominador:
$$ 1000\cdot 9{,}8=9800 $$Por tanto:
$$ h=\frac{29400}{9800} $$Hacemos la división:
$$ h=3 $$Como estamos calculando una profundidad, la unidad final debe ser el metro.
Comprobación de unidades
Conviene mirar las unidades para ver que el resultado tiene sentido. Sabemos que:
$$ 1\ \text{Pa}=1\ \frac{\text{N}}{\text{m}^2} $$Y también:
$$ 1\ \text{N}=1\ \frac{\text{kg}\cdot \text{m}}{\text{s}^2} $$Por tanto:
$$ 1\ \text{Pa} ============ 1\ \frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot \text{s}^2} $$En la expresión:
$$ h=\frac{p}{\rho g} $$las unidades son:
$$ h= \frac{ \frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot \text{s}^2} }{ \left(\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\right) \left(\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\right) } $$En el denominador:
$$ \left(\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\right) \left(\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\right) ======================================== \frac{\text{kg}}{\text{m}^2\cdot \text{s}^2} $$Entonces:
$$ h= \frac{ \frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot \text{s}^2} }{ \frac{\text{kg}}{\text{m}^2\cdot \text{s}^2} } = \text{m} $$Las unidades finales son metros, justo lo que debe ocurrir porque estamos calculando una profundidad.
Interpretación física
El resultado:
$$ h=3\ \text{m} $$significa que el lago tiene una profundidad de \(3\ \text{m}\), si la presión hidrostática en el fondo es \(29400\ \text{Pa}\).
Tiene sentido: en agua, la presión hidrostática aumenta aproximadamente \(9800\ \text{Pa}\) por cada metro de profundidad. Por eso:
$$ 3\cdot 9800=29400 $$Resumen final
- La fórmula de la presión hidrostática es \(p=\rho gh\).
- La incógnita del problema es la profundidad \(h\).
- Despejamos: \(h=\frac{p}{\rho g}\).
- Sustituimos: \(h=\frac{29400}{1000\cdot 9{,}8}\).
- El resultado es \(h=3\ \text{m}\).
- No estamos sumando la presión atmosférica porque el dato es presión hidrostática.
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