Campo gravitatorio creado por una varilla usando cálculo integral
En esta clase vamos a ver una aplicación muy interesante del cálculo integral: calcular la intensidad del campo gravitatorio creado por una varilla uniforme en un punto situado sobre su eje.
La idea central es sencilla: una varilla no es una masa puntual. Está formada por infinitos trocitos muy pequeños, y cada uno de ellos crea una pequeña contribución al campo gravitatorio. Para obtener el campo total, necesitamos sumar todas esas contribuciones. Esa suma continua es una integral.
1. Enunciado del problema
Consideramos una varilla uniforme de longitud \(L\) y masa total \(M\), situada sobre el eje \(x\), de forma simétrica respecto al origen.
Por tanto, sus extremos están en:
\[ x=-\frac{L}{2} \qquad \text{y} \qquad x=\frac{L}{2}. \]Queremos calcular el campo gravitatorio que crea esta varilla en un punto \(P\) situado sobre el eje \(x\), a una distancia \(x_0\) del centro de la varilla.
Supondremos que:
\[ x_0>\frac{L}{2}, \]es decir, que el punto \(P\) está a la derecha de la varilla.
2. Por qué aparece una integral
Si toda la masa \(M\) estuviera concentrada en un punto, podríamos usar directamente la expresión del campo gravitatorio creado por una masa puntual.
Pero aquí la masa está distribuida a lo largo de una varilla. Cada trocito de varilla está a una distancia distinta del punto \(P\). Por eso no podemos usar una sola distancia.
La estrategia será:
- Tomar un trocito infinitesimal de varilla de longitud \(dx\).
- Calcular la masa \(dm\) de ese trocito.
- Calcular el pequeño campo \(d\vec g\) que crea en \(P\).
- Sumar todas las contribuciones mediante una integral.
3. Masa de un trocito de varilla
Como la varilla es uniforme, su masa está repartida de manera constante. La densidad lineal de masa es:
\[ \lambda=\frac{M}{L}. \]Si tomamos un trocito de longitud \(dx\), su masa será:
\[ dm=\lambda\,dx. \]Sustituyendo \(\lambda=\frac{M}{L}\):
\[ dm=\frac{M}{L}\,dx. \]4. Campo creado por un trocito infinitesimal
El trocito situado en la posición \(x\) está a distancia:
\[ r=x_0-x \]del punto \(P\).
El módulo del pequeño campo gravitatorio que crea ese trocito es:
\[ dg=G\frac{dm}{r^2}. \]Sustituyendo \(dm=\frac{M}{L}dx\) y \(r=x_0-x\):
\[ dg = G\frac{\frac{M}{L}dx}{(x_0-x)^2}. \]Es decir:
\[ dg = \frac{GM}{L}\frac{dx}{(x_0-x)^2}. \]Ahora debemos tener en cuenta la dirección. Como la gravedad es atractiva, el campo en \(P\) apunta hacia la varilla, es decir, hacia la izquierda.
Si tomamos \(\vec u_x\) como vector unitario positivo hacia la derecha, entonces:
\[ d\vec g = - \frac{GM}{L} \frac{dx}{(x_0-x)^2} \vec u_x. \]5. Campo total creado por toda la varilla
La varilla va desde:
\[ x=-\frac{L}{2} \]hasta:
\[ x=\frac{L}{2}. \]Por tanto, el campo total será la suma de todos los campos diferenciales:
\[ \vec g(P) = \int_{-L/2}^{L/2} d\vec g. \]Sustituyendo la expresión anterior:
\[ \vec g(P) = - \frac{GM}{L} \int_{-L/2}^{L/2} \frac{dx}{(x_0-x)^2} \vec u_x. \]Como \(G\), \(M\), \(L\) y \(\vec u_x\) no dependen de \(x\), quedan fuera de la integral:
\[ \vec g(P) = - \frac{GM}{L} \left[ \int_{-L/2}^{L/2} \frac{dx}{(x_0-x)^2} \right] \vec u_x. \]6. Cálculo de la integral
Tenemos que calcular:
\[ \int \frac{dx}{(x_0-x)^2}. \]Observamos que:
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x_0-x} \right) = \frac{1}{(x_0-x)^2}. \]Por tanto:
\[ \int \frac{dx}{(x_0-x)^2} = \frac{1}{x_0-x}. \]Ahora evaluamos entre \(-L/2\) y \(L/2\):
\[ \int_{-L/2}^{L/2} \frac{dx}{(x_0-x)^2} = \left[ \frac{1}{x_0-x} \right]_{-L/2}^{L/2}. \]Sustituyendo los límites:
\[ = \frac{1}{x_0-\frac{L}{2}} - \frac{1}{x_0+\frac{L}{2}}. \]Hacemos la resta:
\[ \frac{1}{x_0-\frac{L}{2}} - \frac{1}{x_0+\frac{L}{2}} = \frac{ \left(x_0+\frac{L}{2}\right) - \left(x_0-\frac{L}{2}\right) } { \left(x_0-\frac{L}{2}\right) \left(x_0+\frac{L}{2}\right) }. \]En el numerador:
\[ \left(x_0+\frac{L}{2}\right) - \left(x_0-\frac{L}{2}\right) = L. \]En el denominador:
\[ \left(x_0-\frac{L}{2}\right) \left(x_0+\frac{L}{2}\right) = x_0^2-\left(\frac{L}{2}\right)^2. \]Por tanto:
\[ \int_{-L/2}^{L/2} \frac{dx}{(x_0-x)^2} = \frac{L}{x_0^2-\left(\frac{L}{2}\right)^2}. \]7. Resultado final
Volvemos a la expresión del campo:
\[ \vec g(P) = - \frac{GM}{L} \left[ \frac{L}{x_0^2-\left(\frac{L}{2}\right)^2} \right] \vec u_x. \]Se simplifica \(L\):
\[ \vec g(P) = - \frac{GM}{x_0^2-\left(\frac{L}{2}\right)^2} \vec u_x. \]Por tanto, el campo gravitatorio creado por la varilla en el punto \(P\) es:
\[ \boxed{ \vec g(P) = - \frac{GM}{x_0^2-\left(\frac{L}{2}\right)^2} \vec u_x } \]8. Interpretación física del resultado
El signo negativo indica que el campo apunta hacia la izquierda, es decir, hacia la varilla. Esto tiene sentido porque el campo gravitatorio es atractivo.
Además, si el punto \(P\) está muy lejos de la varilla, es decir, si \(x_0\) es mucho mayor que \(L\), entonces:
\[ x_0^2-\left(\frac{L}{2}\right)^2 \approx x_0^2. \]En ese caso:
\[ \vec g(P) \approx - \frac{GM}{x_0^2} \vec u_x. \]Es decir, desde muy lejos la varilla se comporta prácticamente como una masa puntual \(M\) situada en su centro.
9. Resumen del método
| Paso | Idea | Expresión |
|---|---|---|
| 1 | Densidad lineal | \(\lambda=\frac{M}{L}\) |
| 2 | Masa diferencial | \(dm=\frac{M}{L}dx\) |
| 3 | Distancia al punto | \(r=x_0-x\) |
| 4 | Campo diferencial | \(d\vec g=-G\frac{dm}{r^2}\vec u_x\) |
| 5 | Suma continua | \(\vec g=\int d\vec g\) |
La idea esencial es esta:
\[ \boxed{ \text{Campo total} = \text{suma de los campos creados por todos los trocitos} } \]Y como hay infinitos trocitos infinitesimales, esa suma se convierte en una integral.
Detalle importante: para evitar confusiones con los signos, es recomendable integrar desde \(-L/2\) hasta \(L/2\), siguiendo el orden natural de izquierda a derecha, y colocar aparte el signo negativo que indica que el campo apunta hacia la izquierda.
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