Caída libre desde cero: ¿por qué \(v=gt\)?
Vamos a deducir paso a paso una de las fórmulas más importantes de la caída libre: la velocidad de un cuerpo que se suelta desde el reposo bajo la acción de la gravedad.
Situación inicial
Imaginemos un cuerpo de masa \(m\) situado a cierta altura sobre la superficie de la Tierra. Supondremos que no hay aire, es decir, que estamos en el vacío.
Mientras sujetamos el cuerpo con la mano, permanece en reposo. Pero si lo soltamos, empieza a moverse hacia abajo debido a una fuerza muy conocida:
Esa fuerza es la responsable de que el cuerpo comience a caer.
1. La fuerza que actúa sobre el cuerpo
Si despreciamos el rozamiento con el aire, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo es su peso, es decir, la fuerza gravitatoria.
Por la segunda ley de Newton sabemos que la fuerza neta sobre un cuerpo es:
Y, cerca de la superficie de la Tierra, el peso del cuerpo es:
Por tanto, podemos escribir:
2. La masa se simplifica
A partir de:
dividimos ambos miembros entre \(m\), suponiendo que \(m\neq 0\):
Esto significa que, en caída libre ideal, todos los cuerpos caen con la misma aceleración, independientemente de su masa.
Resultado clave
Cerca de la superficie terrestre, la aceleración de la gravedad vale aproximadamente:
3. Relación entre aceleración y velocidad
La aceleración mide cómo cambia la velocidad con respecto al tiempo. En lenguaje matemático, podemos escribir:
Como hemos obtenido que:
entonces:
Esta ecuación nos dice que la velocidad va aumentando de manera uniforme con el tiempo.
4. Integramos para obtener la velocidad
Si:
entonces podemos escribir:
Integramos ambos miembros:
Como \(g\) es constante:
donde \(C\) es una constante de integración.
5. Usamos la condición inicial
En este caso, soltamos el cuerpo desde el reposo. Eso significa que en el instante inicial:
la velocidad inicial es:
Sustituimos en:
Para \(t=0\), tenemos:
Por tanto:
Entonces la expresión de la velocidad queda:
Fórmula final
Esta fórmula nos da la velocidad de un cuerpo en caída libre cuando se suelta desde el reposo, tomando como positivo el sentido hacia abajo.
6. Interpretación física
La fórmula:
significa que la velocidad aumenta proporcionalmente al tiempo. Si pasa más tiempo, el cuerpo tiene más velocidad.
Por ejemplo, usando:
obtenemos:
Atención al signo
En esta explicación hemos tomado el sentido hacia abajo como positivo. Por eso escribimos:
Si tomáramos hacia arriba como sentido positivo, entonces la aceleración sería negativa:
y, para un cuerpo soltado desde el reposo, escribiríamos:
Resumen de la deducción
Partimos de la fuerza de la gravedad:
y de la segunda ley de Newton:
Como la fuerza que actúa es la gravedad:
Simplificando la masa:
Pero la aceleración también puede escribirse como:
Luego:
Integramos:
Si el cuerpo parte del reposo:
Por tanto:
Idea final
Un cuerpo soltado desde el reposo en el vacío cae con aceleración constante \(g\). Por eso su velocidad no es siempre la misma: aumenta linealmente con el tiempo.
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