La ecuación diferencial del MAS

Movimiento armónico simple: su ecuación diferencial

En el movimiento armónico simple, un cuerpo oscila alrededor de un punto de equilibrio. Puede ser una masa unida a un muelle, un péndulo para pequeñas oscilaciones o cualquier sistema en el que aparezca una fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento.

La posición del cuerpo se describe con funciones sinusoidales. Es decir, con expresiones donde aparecen sin y cos.

La pregunta importante es:

\[ \text{¿Por qué aparecen precisamente } \sin \text{ y } \cos? \]

La respuesta está en la ecuación diferencial del movimiento.

En un movimiento armónico simple, la posición varía de forma sinusoidal con el tiempo.

1. La idea física: una fuerza recuperadora

La característica esencial del movimiento armónico simple es que la fuerza que actúa sobre el cuerpo es proporcional al desplazamiento respecto al punto de equilibrio, pero tiene sentido contrario.

\[ F=-kx \]

Aquí:

• \(F\) es la fuerza que actúa sobre el cuerpo;
• \(k\) es una constante de proporcionalidad;
• \(x\) es el desplazamiento respecto al equilibrio;
• el signo menos indica que la fuerza se opone al desplazamiento.

Si el cuerpo está desplazado hacia la derecha, la fuerza tira hacia la izquierda. Si el cuerpo está desplazado hacia la izquierda, la fuerza tira hacia la derecha.

Por eso se llama fuerza recuperadora: intenta llevar al cuerpo de vuelta al equilibrio.

2. Aplicamos la segunda ley de Newton

La segunda ley de Newton dice:

\[ F=ma \]

Como en el movimiento armónico simple también tenemos:

\[ F=-kx \]

podemos igualar ambas expresiones:

\[ ma=-kx \]

3. La aceleración como segunda derivada

La velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo:

\[ v=\frac{dx}{dt} \]

Y la aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo:

\[ a=\frac{dv}{dt} \]

Por tanto, la aceleración es la segunda derivada de la posición:

\[ a=\frac{d^2x}{dt^2} \]

Sustituimos esto en la ecuación \(ma=-kx\):

\[ m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx \]

4. La ecuación diferencial del movimiento armónico simple

Paso 1 Dividimos entre la masa

\[ \frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{k}{m}x \]

Paso 2 Pasamos todo al mismo lado

\[ \frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0 \]

Esta es la ecuación diferencial del movimiento armónico simple.

\[ \boxed{\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0} \]

5. ¿Por qué salen seno y coseno?

La ecuación que hemos obtenido exige que la segunda derivada de la posición sea proporcional a la propia posición, pero con signo contrario.

Eso es justo lo que ocurre con las funciones seno y coseno.

\[ \frac{d^2}{dt^2}\sin(\omega t)=-\omega^2\sin(\omega t) \]

\[ \frac{d^2}{dt^2}\cos(\omega t)=-\omega^2\cos(\omega t) \]

Al derivarlas dos veces, vuelven a aparecer ellas mismas, pero multiplicadas por un número negativo. Por eso son las funciones naturales para describir una oscilación.

6. Resolución mediante ecuación característica

Escribimos la ecuación diferencial de forma más cómoda:

\[ x''+\frac{k}{m}x=0 \]

Esta ecuación tiene asociada una ecuación característica:

\[ r^2+\frac{k}{m}=0 \]

Despejamos:

\[ r^2=-\frac{k}{m} \]

\[ r=\pm i\sqrt{\frac{k}{m}} \]

Definimos la frecuencia angular:

\[ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \]

Entonces las raíces son:

\[ r=\pm i\omega \]

Y la solución general es:

\[ \boxed{x(t)=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)} \]

7. Interpretación de las constantes

La expresión:

\[ x(t)=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t) \]

contiene constantes que dependen de cómo empieza el movimiento:

• la posición inicial;
• la velocidad inicial;
• la amplitud de la oscilación;
• el desfase inicial.

Muchas veces se escribe la misma solución de esta otra forma:

\[ x(t)=C\cos(\omega t+\varphi) \]

Ambas formas representan el mismo tipo de movimiento: una oscilación sinusoidal.

Resultado final

Si un cuerpo se mueve con movimiento armónico simple, entonces su posición satisface:

\[ \frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0 \]

y su solución general puede escribirse como:

\[ \boxed{x(t)=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)} \]

donde:

\[ \boxed{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}} \]

Resumen rápido

1. En el movimiento armónico simple aparece una fuerza recuperadora.
2. Esa fuerza cumple \(F=-kx\).
3. Por la segunda ley de Newton, \(F=ma\).
4. La aceleración es \(a=\frac{d^2x}{dt^2}\).
5. Por tanto, \(m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx\).
6. La ecuación diferencial queda \(\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0\).
7. Al resolverla aparecen \(\sin\) y \(\cos\).
8. La frecuencia angular es \(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\).

Error común

Un error habitual es memorizar directamente:

\[ x(t)=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t) \]

sin entender de dónde sale. Esta fórmula no aparece por magia: nace de combinar la fuerza recuperadora \(F=-kx\), la segunda ley de Newton y la relación entre aceleración y segunda derivada.

Ejercicio propuesto

Una masa de \(0{,}50\ \text{kg}\) está unida a un muelle de constante elástica \(k=200\ \text{N/m}\).

Calcula la frecuencia angular del movimiento armónico simple.

Usa:

\[ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \]

Después intenta escribir la forma general de \(x(t)\).

Conclusión

Las funciones seno y coseno aparecen en el movimiento armónico simple porque son funciones cuya segunda derivada vuelve a ser la propia función cambiada de signo.

Esa propiedad encaja exactamente con la física de una fuerza recuperadora:

\[ F=-kx \]

Material preparado para Física con Juan.

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