Velocidad orbital de un satélite alrededor de la Luna
Un problema de gravitación muy actual
Física con Juan
En este problema vamos a calcular la rapidez que debe tener un satélite para orbitar de manera estable alrededor de la Luna.
La situación es muy interesante: tenemos un satélite artificial moviéndose en una órbita circular alrededor de la Luna, a una altura de \(600\ \text{km}\) sobre la superficie lunar.
La pregunta es:
\[ \textbf{¿con qué rapidez debe moverse para mantenerse en esa órbita?} \]Este tipo de problema conecta directamente la gravitación universal de Newton con el movimiento circular.
Un satélite orbita alrededor de la Luna a una altura de:
\[ h=600\ \text{km} \]respecto a la superficie lunar.
Sabemos que:
\[ R_L=1740\ \text{km} \]es el radio de la Luna, y que la aceleración de la gravedad en la superficie lunar es:
\[ g_L=1{,}62\ \text{m/s}^2 \]Calcula la rapidez orbital del satélite para que describa una órbita circular estable alrededor de la Luna.
1. Distancia desde el centro de la Luna hasta el satélite
El satélite no está a \(600\ \text{km}\) del centro de la Luna, sino a \(600\ \text{km}\) sobre la superficie lunar.
Por tanto, la distancia desde el centro de la Luna hasta el satélite es:
\[ r=R_L+h \]Sustituyendo:
\[ r=1740\ \text{km}+600\ \text{km} \] \[ r=2340\ \text{km} \]Pasamos a metros:
\[ r=2{,}340\cdot 10^6\ \text{m} \]También necesitamos pasar el radio de la Luna a metros:
\[ R_L=1740\ \text{km}=1{,}740\cdot 10^6\ \text{m} \]2. La fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta
Para que el satélite describa una órbita circular estable, la fuerza de la gravedad debe actuar como fuerza centrípeta.
La fuerza centrípeta necesaria para una órbita circular es:
\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]La fuerza gravitatoria entre la Luna y el satélite es:
\[ F_g=G\frac{M_Lm}{r^2} \]donde:
\[ M_L=\text{masa de la Luna} \] \[ m=\text{masa del satélite} \] \[ r=R_L+h \]Como la gravedad es la fuerza que mantiene al satélite en órbita, igualamos:
\[ F_c=F_g \] \[ \frac{mv^2}{r}=G\frac{M_Lm}{r^2} \]3. Simplificamos la masa del satélite
La masa del satélite aparece en los dos miembros de la igualdad:
\[ \frac{mv^2}{r}=G\frac{M_Lm}{r^2} \]Podemos simplificar \(m\):
\[ \frac{v^2}{r}=G\frac{M_L}{r^2} \]Multiplicamos por \(r\):
\[ v^2=G\frac{M_L}{r} \]Por tanto:
\[ v=\sqrt{\frac{GM_L}{r}} \]Como:
\[ r=R_L+h \]tenemos:
\[ v=\sqrt{\frac{GM_L}{R_L+h}} \]4. Usamos la gravedad en la superficie lunar
No conocemos directamente el valor de \(GM_L\), pero sí conocemos la aceleración de la gravedad en la superficie lunar.
En la superficie de la Luna:
\[ g_L=\frac{GM_L}{R_L^2} \]Despejamos:
\[ GM_L=g_LR_L^2 \]Sustituimos esto en la fórmula de la rapidez orbital:
\[ v=\sqrt{\frac{g_LR_L^2}{R_L+h}} \]Esta es la fórmula que vamos a usar.
5. Sustitución de datos
| Magnitud | Valor |
|---|---|
| Gravedad lunar | \(g_L=1{,}62\ \text{m/s}^2\) |
| Radio lunar | \(R_L=1{,}740\cdot 10^6\ \text{m}\) |
| Altura del satélite | \(h=600\ \text{km}=0{,}600\cdot 10^6\ \text{m}\) |
| Distancia al centro lunar | \(R_L+h=2{,}340\cdot 10^6\ \text{m}\) |
Sustituimos:
\[ v= \sqrt{ \frac{ 1{,}62\cdot \left(1{,}740\cdot 10^6\right)^2 }{ 2{,}340\cdot 10^6 } } \]6. Cálculo numérico
Primero calculamos el cuadrado del radio lunar:
\[ \left(1{,}740\cdot 10^6\right)^2 \]Después multiplicamos por \(1{,}62\):
\[ 1{,}62\cdot \left(1{,}740\cdot 10^6\right)^2 \]Y dividimos entre:
\[ 2{,}340\cdot 10^6 \]Finalmente tomamos la raíz cuadrada:
\[ v\approx 1448\ \text{m/s} \]Redondeando:
\[ \boxed{v\approx 1450\ \text{m/s}} \]También podemos expresarlo en kilómetros por segundo:
\[ 1450\ \text{m/s}=1{,}45\ \text{km/s} \]Por tanto:
\[ \boxed{v\approx 1{,}45\ \text{km/s}} \]Respuesta final
La rapidez orbital del satélite debe ser aproximadamente:
\[ \boxed{v\approx 1450\ \text{m/s}} \]o, de forma equivalente:
\[ \boxed{v\approx 1{,}45\ \text{km/s}} \]Esa es la rapidez necesaria para que el satélite se mantenga en una órbita circular estable a \(600\ \text{km}\) sobre la superficie de la Luna.
Idea clave
En una órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta:
\[ F_g=F_c \]Por eso:
\[ G\frac{M_Lm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]La masa del satélite se simplifica, de modo que la rapidez orbital no depende de la masa del satélite:
\[ v=\sqrt{\frac{GM_L}{r}} \]Y usando la gravedad lunar en la superficie:
\[ GM_L=g_LR_L^2 \]obtenemos:
\[ \boxed{ v=\sqrt{\frac{g_LR_L^2}{R_L+h}} } \]
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