¿Desde qué altura hay que soltar un cuerpo para que complete un looping?
Enunciado
Calcula la altura mínima \(h\) desde la que debe soltarse para que pueda completar el looping.
Suponemos que no hay rozamiento y que no se pierde energía mecánica durante el movimiento.
```La idea física del problema
Este problema mezcla dos ideas muy importantes:
- La conservación de la energía mecánica.
- La fuerza centrípeta necesaria para seguir una trayectoria circular.
Como no hay rozamiento, la energía mecánica se conserva. Esto significa que la energía que tiene el cuerpo al principio será la misma que tendrá en cualquier otro punto de la trayectoria.
El punto más delicado es la parte más alta del bucle. Allí el cuerpo podría caerse si no llega con velocidad suficiente.
Energía en el punto inicial
El cuerpo parte del reposo desde una altura \(h\). Como parte del reposo, su velocidad inicial es cero.
Por tanto, al principio solo tiene energía potencial gravitatoria:
Aquí:
- \(m\) es la masa del cuerpo.
- \(g\) es la aceleración de la gravedad.
- \(h\) es la altura desde la que se suelta.
Energía en la parte más alta del looping
En la parte más alta del bucle, el cuerpo está a una altura \(2R\), porque el diámetro del círculo mide \(2R\).
En ese punto tiene dos tipos de energía:
- Energía potencial, porque está a cierta altura.
- Energía cinética, porque todavía se está moviendo.
Por tanto:
Conservación de la energía
Como no hay pérdidas de energía:
Entonces:
Nuestra incógnita es \(h\), pero aparece también \(v^2\). Necesitamos encontrar una expresión para esa velocidad mínima en la parte superior.
La condición clave en la parte más alta
En la parte más alta del looping, las fuerzas que apuntan hacia el centro del círculo son:
- El peso \(mg\), dirigido hacia abajo.
- La normal \(N\), si el cuerpo está en contacto con la pista.
La segunda ley de Newton en dirección radial nos da:
Queremos la altura mínima. En el caso límite, el cuerpo está justo a punto de perder el contacto con la pista. Eso significa que la normal vale cero:
Sustituyendo:
Simplificamos la masa:
Y despejamos:
Idea clave
```En la altura mínima, la normal en la parte más alta del looping es cero. Esa es la condición límite para que el cuerpo complete el bucle sin caerse.
Sustituimos en la ecuación de la energía
Teníamos:
Como:
Sustituimos:
Es decir:
Sacamos factor común:
Dividimos entre \(mg\):
Resultado final
```La altura mínima desde la que hay que soltar el cuerpo es:
Es decir:
El cuerpo debe soltarse desde una altura igual a dos veces y media el radio del looping.
```Interpretación del resultado
El cuerpo no necesita solamente llegar a la parte más alta del looping. Eso exigiría una altura de \(2R\), pero no sería suficiente.
Además de llegar arriba, debe conservar una velocidad mínima para que exista aceleración centrípeta y pueda seguir la trayectoria circular.
Esa velocidad mínima en la parte superior cumple:
Por eso la altura necesaria no es \(2R\), sino:
Error frecuente
```Un error muy común es pensar que basta con que el cuerpo alcance la altura \(2R\). Pero eso solo garantiza que llega arriba, no que pueda seguir la trayectoria circular.
En la parte más alta necesita velocidad. Si llega sin velocidad suficiente, el cuerpo no completa el bucle.
```Resumen
Para resolver el problema usamos conservación de la energía entre el punto inicial y la parte más alta del looping. Después usamos la segunda ley de Newton en el punto superior para encontrar la velocidad mínima necesaria.
La condición límite es:
De ahí se obtiene:
Y al sustituir en la conservación de la energía:
Ejercicio del looping en formato vídeo
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