Cálculo de la densidad de un cuerpo. Principio de Arquímedes

Densidad de un objeto usando el peso aparente en agua

En este problema vamos a calcular la densidad de un objeto a partir de su peso real y de su peso aparente cuando se sumerge en agua. Es un ejercicio muy interesante porque une tres ideas importantes de la hidrostática: el peso, el empuje de Arquímedes y la densidad.

Enunciado

Un objeto pesa \(72\,\text{N}\). Al sumergirlo en agua, su peso aparente es de \(48\,\text{N}\). La densidad del agua es: ```

\[ \rho_{\text{agua}} = 1000\,\text{kg/m}^3 \]

Calcula la densidad del objeto. ```

Idea física del problema

Cuando un objeto se introduce en agua, parece pesar menos. Esto ocurre porque el agua ejerce sobre él una fuerza vertical hacia arriba llamada empuje.

Sobre el objeto actúan dos fuerzas principales:

• El peso, dirigido hacia abajo.
• El empuje, dirigido hacia arriba.

Por eso, el peso que aparentemente medimos dentro del agua no es el peso real, sino la diferencia entre el peso real y el empuje.

\[ P_{\text{aparente}} = P - E \]

De esta fórmula podemos despejar el empuje:

\[ E = P - P_{\text{aparente}} \]

Paso 1: calcular el empuje

Sabemos que el peso real del objeto es:

\[ P = 72\,\text{N} \]

Y que su peso aparente en agua es:

\[ P_{\text{aparente}} = 48\,\text{N} \]

Entonces:

\[ E = 72 - 48 \]

\[ E = 24\,\text{N} \]

El empuje que ejerce el agua sobre el objeto es de 24 N.

Paso 2: escribir el peso del objeto

El peso de un cuerpo se calcula como:

\[ P = mg \]

Pero la masa puede escribirse en función de la densidad y el volumen:

\[ m = \rho V \]

Por tanto, el peso del objeto puede escribirse así:

\[ P = \rho_{\text{objeto}} Vg \]

Como el peso del objeto es \(72\,\text{N}\), tenemos:

\[ \rho_{\text{objeto}} Vg = 72 \]

Paso 3: escribir el empuje

Según el principio de Arquímedes, el empuje es igual al peso del líquido desalojado por el objeto.

En este caso, el líquido es agua. Por tanto:

\[ E = \rho_{\text{agua}} Vg \]

El volumen de agua desalojada coincide con el volumen del objeto, porque donde antes había agua ahora está el objeto.

Como el empuje vale \(24\,\text{N}\), tenemos:

\[ \rho_{\text{agua}} Vg = 24 \]

Paso 4: dividir las dos ecuaciones

Tenemos estas dos expresiones:

\[ \rho_{\text{objeto}} Vg = 72 \]

\[ \rho_{\text{agua}} Vg = 24 \]

Dividimos la primera entre la segunda:

\[ \frac{\rho_{\text{objeto}} Vg}{\rho_{\text{agua}} Vg} = \frac{72}{24} \]

El volumen \(V\) se simplifica y la gravedad \(g\) también:

\[ \frac{\rho_{\text{objeto}}}{\rho_{\text{agua}}} = 3 \]

Por tanto:

\[ \rho_{\text{objeto}} = 3\rho_{\text{agua}} \]

Paso 5: sustituir la densidad del agua

Como:

\[ \rho_{\text{agua}} = 1000\,\text{kg/m}^3 \]

Entonces:

\[ \rho_{\text{objeto}} = 3 \cdot 1000 \]

\[ \rho_{\text{objeto}} = 3000\,\text{kg/m}^3 \]

Resultado final

```

La densidad del objeto es:

\[ \boxed{\rho_{\text{objeto}} = 3000\,\text{kg/m}^3} \]

Esto significa que el objeto es tres veces más denso que el agua.

```

Error frecuente

```

Un error muy común es pensar que el peso aparente es el empuje. No lo es.

El peso aparente es lo que queda después de restar el empuje al peso real:

\[ P_{\text{aparente}} = P - E \]

En este problema, el empuje no es \(48\,\text{N}\), sino:

\[ E = 72 - 48 = 24\,\text{N} \]

```

Resumen de la idea principal

Si un objeto pesa menos aparentemente al sumergirse en agua, esa pérdida aparente de peso se debe al empuje del líquido. En este caso, la pérdida de peso es de \(24\,\text{N}\). Comparando el peso del objeto con el empuje, obtenemos directamente la relación entre la densidad del objeto y la densidad del agua.

Como:

\[ \frac{72}{24}=3 \]

La densidad del objeto es tres veces la densidad del agua:

\[ \rho_{\text{objeto}} = 3000\,\text{kg/m}^3 \]

Aquí tienes el ejercicio resuelto en formato vídeo

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