Ecuación de Bernoulli. Aplicación

Ecuación de Bernoulli: presión final en una tubería horizontal

En este ejercicio vamos a aplicar la ecuación de Bernoulli a una tubería horizontal. El agua pasa de una zona donde se mueve a \(2\,\text{m/s}\) a otra zona donde se mueve a \(6\,\text{m/s}\). La presión en la primera zona es \(200000\,\text{Pa}\), y queremos calcular la presión en la segunda zona.

Enunciado

En una tubería horizontal, el agua pasa de una zona donde su velocidad es:

```

\[ v_1=2\,\text{m/s} \]

a otra zona donde su velocidad es:

\[ v_2=6\,\text{m/s} \]

Si la presión en la primera zona es:

\[ P_1=200000\,\text{Pa} \]

calcula la presión final \(P_2\).

Tomamos la densidad del agua como:

\[ \rho=1000\,\text{kg/m}^3 \]

```

Interpretación del problema

Es importante entender bien el enunciado. No estamos diciendo que toda la tubería tenga primero una presión y después otra. Lo que tenemos son dos zonas distintas de una misma tubería horizontal.

• En la zona 1 hay una presión \(P_1\) y una velocidad \(v_1\).
• En la zona 2 hay una presión \(P_2\) y una velocidad \(v_2\).
• Como la tubería es horizontal, la altura es la misma en las dos zonas.

Idea física: energía en el fluido

La ecuación de Bernoulli se puede entender como una forma de conservación de la energía en un fluido ideal. Suponemos que no hay rozamiento ni pérdidas de energía.

En un fluido, la energía puede aparecer asociada a varias magnitudes:

• La presión.
• La velocidad del fluido.
• La altura a la que se encuentra el fluido.

Por eso, la ecuación de Bernoulli combina presión, energía cinética por unidad de volumen y energía potencial gravitatoria por unidad de volumen.

La ecuación de Bernoulli

La forma habitual de la ecuación de Bernoulli es:

\[ P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=\text{constante} \]

Donde:

• \(P\) es la presión.
• \(\rho\) es la densidad del fluido.
• \(v\) es la velocidad del fluido.
• \(g\) es la aceleración de la gravedad.
• \(h\) es la altura.

La ecuación de Bernoulli nos dice que, si el fluido se comporta de forma ideal, la suma de esos tres términos permanece constante a lo largo de la tubería.

Aplicamos Bernoulli a las dos zonas

En la zona 1:

\[ P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh \]

En la zona 2:

\[ P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh \]

Como la energía se conserva:

\[ P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh = P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh \]

La tubería es horizontal

Como la tubería es horizontal, la altura es la misma en las dos zonas. Por tanto, el término \(\rho gh\) aparece igual en ambos miembros.

Lo podemos cancelar:

\[ P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2 \]

Esta es la forma de Bernoulli que necesitamos para este ejercicio.

Despejamos la presión final

Queremos calcular \(P_2\). Partimos de:

\[ P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2 \]

Restamos \(\frac{1}{2}\rho v_2^2\) en ambos miembros:

\[ P_2= P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2-\frac{1}{2}\rho v_2^2 \]

Sacamos factor común:

\[ P_2=P_1+\frac{1}{2}\rho\left(v_1^2-v_2^2\right) \]

Sustituimos los datos

Tenemos:

\[ P_1=200000\,\text{Pa} \]

\[ \rho=1000\,\text{kg/m}^3 \]

\[ v_1=2\,\text{m/s} \qquad v_2=6\,\text{m/s} \]

Sustituimos:

\[ P_2= 200000+ \frac{1}{2}\cdot 1000\cdot \left(2^2-6^2\right) \]

Calculamos los cuadrados:

\[ 2^2=4 \qquad 6^2=36 \]

Entonces:

\[ P_2= 200000+ 500(4-36) \]

\[ P_2= 200000+ 500(-32) \]

\[ P_2= 200000-16000 \]

\[ P_2=184000\,\text{Pa} \]

Resultado final

```

La presión final es:

\[ \boxed{P_2=184000\,\text{Pa}} \]

```

Interpretación del resultado

La velocidad del agua aumenta de \(2\,\text{m/s}\) a \(6\,\text{m/s}\). Como la tubería es horizontal, no hay cambio de altura.

Entonces, si aumenta la parte de energía asociada a la velocidad, debe disminuir la parte asociada a la presión.

Por eso:

\[ P_2

En este caso:

\[ 184000\,\text{Pa}<200000\,\text{Pa} \]

Error frecuente

```

Un error habitual es pensar que, si el agua va más rápido, la presión necesariamente debe ser mayor. En este tipo de situación ideal, ocurre lo contrario: cuando la velocidad aumenta, la presión disminuye.

También es importante recordar que \(P_1\) y \(P_2\) son presiones en dos zonas distintas de la tubería, no dos presiones de toda la tubería en dos instantes diferentes.

```

Resumen de la resolución

Partimos de Bernoulli:

\[ P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=\text{constante} \]

Como la tubería es horizontal:

\[ P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2 \]

Despejamos:

\[ P_2=P_1+\frac{1}{2}\rho(v_1^2-v_2^2) \]

Sustituimos:

\[ P_2=200000+\frac{1}{2}\cdot1000(2^2-6^2) \]

Resultado:

\[ \boxed{P_2=184000\,\text{Pa}} \]

Problema resuelto en vídeo

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