Cuerpo que cae sobre arena: cálculo de la fuerza de frenado
Enunciado del problema
Datos del problema
| Magnitud | Símbolo | Valor |
|---|---|---|
| Masa del cuerpo | \(m\) | \(0{,}1\ \mathrm{kg}\) |
| Altura sobre la arena | \(H\) | \(3\ \mathrm{m}\) |
| Profundidad de penetración | \(d\) | \(3\ \mathrm{cm}=0{,}03\ \mathrm{m}\) |
| Aceleración de la gravedad | \(g\) | \(9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\) |
Interpretación física
El cuerpo comienza en reposo a una altura de \(3\ \mathrm{m}\). Durante la caída aumenta su energía cinética y, al entrar en la arena, esta ejerce una fuerza que lo frena hasta detenerlo.
Desde la posición inicial hasta la posición final, el cuerpo desciende:
Por tanto, la disminución total de energía potencial gravitatoria es:
Esta energía es absorbida por el trabajo de frenado realizado por la arena.
Resolución paso a paso
1Trabajo realizado por la arena
Durante la penetración, el desplazamiento tiene módulo \(d\). Si \(F\) es el módulo de la fuerza media ejercida por la arena, el módulo de su trabajo es:
La fuerza de la arena apunta hacia arriba y el cuerpo se desplaza hacia abajo. Por tanto, el trabajo de la arena sobre el cuerpo es realmente negativo:
2Balance de energía
Al principio y al final el cuerpo está en reposo. La pérdida de energía potencial gravitatoria queda compensada por el trabajo negativo de la arena:
Multiplicando los dos miembros por \(-1\):
3Despeje de la fuerza
4Sustitución de los datos
5Cálculo numérico
Redondeando:
¿Es la fuerza de la arena o la fuerza del cuerpo?
En el cálculo hemos determinado el módulo de la fuerza media que la arena ejerce sobre el cuerpo para detenerlo.
Sin embargo, el enunciado pregunta por la fuerza que el cuerpo ejerce sobre la arena. Por la tercera ley de Newton, ambas fuerzas tienen:
- el mismo módulo;
- la misma dirección;
- sentidos contrarios;
- y actúan sobre cuerpos diferentes.
Por tanto, el cuerpo ejerce sobre la arena una fuerza media de aproximadamente \(99\ \mathrm{N}\), dirigida hacia abajo.
La fuerza está dirigida hacia abajo y representa un valor medio durante la penetración.
¿Por qué aparece \(H+d\) y no solamente \(H\)?
El cuerpo no se detiene al llegar a la superficie de la arena. Continúa descendiendo una distancia adicional \(d\). Durante esa penetración, la gravedad sigue realizando trabajo positivo.
Por eso, la pérdida total de altura es:
Otra forma equivalente de razonarlo es separar el proceso en dos etapas:
- Durante la caída libre, la energía potencial \(mgH\) se transforma en energía cinética.
- Durante la penetración, la gravedad realiza además un trabajo \(mgd\), mientras la arena realiza el trabajo de frenado.
La suma de las dos contribuciones gravitatorias es:
Error frecuente: considerar positivo el trabajo de la arena
El trabajo de la arena sobre el cuerpo es negativo porque la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos opuestos:
Cuando escribimos:
estamos igualando los módulos de dos cantidades energéticas. No estamos afirmando que el trabajo de la arena sobre el cuerpo sea positivo.
Conclusión
Este problema muestra cómo utilizar el trabajo y la energía para estudiar una fuerza de frenado. La pequeña profundidad de penetración obliga a la arena a detener al cuerpo en una distancia muy corta, por lo que la fuerza media obtenida es mucho mayor que el peso del cuerpo:
La fuerza media de frenado es aproximadamente cien veces mayor que el peso del cuerpo.
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