Velocidad de salida del agua por un orificio: Bernoulli y Torricelli

En este ejercicio vamos a calcular la velocidad con la que sale el agua por un orificio situado en un depósito y también el caudal de salida. Para hacerlo usaremos la ecuación de Bernoulli y veremos cómo aparece la famosa fórmula de Torricelli.

Enunciado

Un depósito contiene agua y tiene un orificio situado a una profundidad de:

```

\[ \Delta h = 1{,}8\,\text{m} \]

bajo la superficie libre del agua.

El área del orificio es:

\[ A = 2\cdot 10^{-4}\,\text{m}^2 \]

Calcula:

La velocidad de salida del agua.
El caudal que sale por el orificio.

Tomaremos:

\[ g=9{,}8\,\text{m/s}^2 \]

```

Idea física del problema

El agua sale por el orificio porque está sometida a una diferencia de altura. La superficie libre del agua está por encima del agujero, y esa diferencia de altura se transforma en velocidad de salida.

Podemos entenderlo como una transformación de energía: la energía asociada a la altura del agua se convierte en energía cinética del chorro que sale.

En el contexto de los fluidos, una forma muy potente de expresar esta idea es la ecuación de Bernoulli.

Ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli, para un fluido ideal, puede escribirse así:

\[ P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=\text{constante} \]

En esta expresión:

\(P\) es la presión.
\(\rho\) es la densidad del fluido.
\(v\) es la velocidad del fluido.
\(g\) es la aceleración de la gravedad.
\(h\) es la altura.

Bernoulli nos dice que, si no hay pérdidas de energía, la suma de esos tres términos se mantiene constante a lo largo del movimiento del fluido.

Aplicamos Bernoulli entre dos puntos

Tomamos dos puntos:

El punto 2, situado en la superficie libre del agua.
El punto 1, situado en el orificio por el que sale el agua.

Aplicando Bernoulli:

\[ P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh_1 = P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2 \]

Aquí \(v_1\) será la velocidad de salida del agua por el orificio, que es lo que queremos calcular.

Primera simplificación: las presiones son iguales

El depósito está abierto a la atmósfera y el agua sale también al aire.

Por tanto, tanto en la superficie libre como en el orificio tenemos presión atmosférica:

\[ P_1=P_2=P_{\text{atm}} \]

Como aparecen iguales en los dos miembros, se cancelan.

Segunda simplificación: la velocidad de la superficie es muy pequeña

La velocidad con la que baja el nivel del agua en el depósito es mucho menor que la velocidad con la que el agua sale por el orificio.

Por eso podemos tomar:

\[ v_2\approx 0 \]

Al elevar al cuadrado, esta contribución se vuelve todavía más pequeña, así que se puede despreciar en la ecuación.

Obtenemos la fórmula de Torricelli

Después de cancelar las presiones y despreciar \(v_2^2\), queda:

\[ \frac{1}{2}\rho v_1^2=\rho g(h_2-h_1) \]

La densidad \(\rho\) aparece en ambos lados, así que se simplifica:

\[ \frac{1}{2}v_1^2=g(h_2-h_1) \]

Multiplicamos por 2:

\[ v_1^2=2g(h_2-h_1) \]

Y finalmente:

\[ v_1=\sqrt{2g(h_2-h_1)} \]

Fórmula de Torricelli

```

\[ \boxed{v=\sqrt{2g\Delta h}} \]

Esta fórmula nos da la velocidad de salida de un líquido por un orificio situado a una profundidad \(\Delta h\) bajo la superficie libre.

```

Cálculo de la velocidad de salida

En nuestro caso:

\[ \Delta h=1{,}8\,\text{m} \]

Sustituimos:

\[ v=\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 1{,}8} \]

\[ v=\sqrt{35{,}28} \]

\[ v\approx 5{,}94\,\text{m/s} \]

Velocidad de salida

```

\[ \boxed{v\approx 5{,}94\,\text{m/s}} \]

```

Cálculo del caudal

El caudal se calcula multiplicando el área de salida por la velocidad:

\[ Q=A\cdot v \]

Sustituimos los datos:

\[ Q=2\cdot 10^{-4}\cdot 5{,}94 \]

\[ Q=1{,}188\cdot 10^{-3}\,\text{m}^3/\text{s} \]

Redondeando:

\[ Q\approx 1{,}19\cdot 10^{-3}\,\text{m}^3/\text{s} \]

Caudal de salida

```

\[ \boxed{Q\approx 1{,}19\cdot 10^{-3}\,\text{m}^3/\text{s}} \]

Como \(1\,\text{m}^3=1000\,\text{L}\), esto equivale aproximadamente a:

\[ \boxed{Q\approx 1{,}19\,\text{L/s}} \]

```

Interpretación del resultado

La velocidad de salida depende de la profundidad del orificio. Cuanto más profundo esté el orificio bajo la superficie libre, mayor será la velocidad con la que saldrá el agua.

En este caso, una profundidad de \(1{,}8\,\text{m}\) produce una velocidad de salida de aproximadamente \(5{,}94\,\text{m/s}\).

Una vez conocida la velocidad, el caudal se obtiene multiplicando por el área del orificio.

Error frecuente

```

Un error habitual es olvidar que la presión en la superficie libre y en el orificio es la misma si ambos puntos están en contacto con la atmósfera.

Otro error frecuente es no despreciar correctamente la velocidad con la que baja el nivel del agua en el depósito. Si el depósito es grande comparado con el orificio, esa velocidad es muy pequeña frente a la velocidad de salida.

```

Resumen de la resolución

Partimos de Bernoulli:

\[ P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=\text{constante} \]

Como las presiones se cancelan y la velocidad de descenso del nivel del agua se desprecia:

\[ v=\sqrt{2g\Delta h} \]

Sustituyendo: